Применение производной в физике

Преподаватель: Кива М.Н.
Интегрированный урок по теме
«Применение производной при решении физических задач»
2019 г.

Δ x
Δ y
X1
X2
Y1
Y2
A
C
B
X
Y
y ‘
Рассмотрите чертеж и дайте определение
производной функции

Производная используется при решении следующих заданий:
Вычислить производную
Вычислить производную в заданной точке
Все задания на построение касательной к графику функции
Нахождение промежутков возрастания и убывания функции
Нахождение точек экстремума
Нахождение скорости тела в момент времени
Нахождение наименьшего или наибольшего значения функции
Построение графиков с помощью производной
Исследование функции
Решение задач методом математического моделирования

Геометрический смысл производной
A
Δх
0
х0
X0 – точка касания
y’0 = tgα касат.
α
B

ΔХ – промежуток времени
ΔY -изменение перемещения
vср. =
vмгн. =
Δ x
Δ y
X1
X2
Y1
Y2
A
C
B
X
Y
Траектория
движения тела
Физический смысл производной

Механический смысл
второй производной
Ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента.

v (t) = S′ (t)
a(t) = V′ (t)

1) Мощность есть производная работы по времени
N = A ‘ (t)
2) Пусть дан неоднородный стержень длиной l и массой m(l), начало которого в точке l = 0. Тогда производная функции массы стержня по его длине l есть линейная плотность стержня в данной точке:
ρ(l) = m ‘ (l)
3) Теплоёмкость есть производная теплоты по температуре:
C(t) = Q ’(t)
4) Сила тока есть производная заряда по времени:
I = q ‘ (t)

Дано уравнение прямолинейного движения тела:
S=3t2-5t+2, где S- путь, пройденный телом, м; t- время, с.
Найдите скорость тела в момент времени t=4 c.
Задача 1

Точка движется по закону
Найти скорость и ускорение через 4 с после начала движения (движение считать прямолинейным).
Задача 2

Пусть q= 3t2 - 5t +8 - количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время .
Найти силу тока в данный момент времени =3c.
Задача 3

Пусть дан неоднородный стержень длины, масса неоднородного стержня меняется по закону: m=3x2 -5x +12.
Найти линейную плотность стержня в данной точке =4
Задача 4

Выбрать оптимальный объем производстваN фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью: F(q) = q2 - 8q + 10.
Решение: Оптимальный объём производства есть производная от функции прибыли, т.е. N= F(q)
F'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 → qextr = 4
При q
При q>qextr = 4 → F'(q) > 0 и прибыль возрастает
При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.
Задача 5 (экономический смысл производной)

Прибыль фирмы задана зависимостью: F(q) = 5q2 - 5q + 12.
Найти оптимальный объём производства N фирмы.
Задача 5 (экономический смысл производной)

Тело движется по закону x(t)=2t3 -2,5t2 + 3t +1. Найти скорость тела при t=1c.
Тело движется по закону x(t)= 3t4 -3t3 + 4t + 2. Найти скорость тела при t=1с.
3. Заряд q изменяется по закону q(t)= 0,4t2/, найти силу тока при t=10c.
4. Угол поворота тела вокруг оси изменяется по закону ϕ(t)= 0,3t2 – 0,5t + 0,4. Найти угловую скорость при t= 10с.
5. Температура тела Т изменяется по закону Т(t)=4t3 -7t+4. Какова скорость изменения температуры при t=2с?

Самостоятельная работа
Вариант 1.
1. Материальная точка движется по закону s(t)=12t+3t3. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t=2с.
2. Тело, масса которого 5кг, движется прямолинейно по закону S=1-t+t2 , где S - измеряется в метрах, а t в секундах.
Найти кинетическую энергию тела через 10с после начала движения.
Вариант 2.
1. Материальная точка движется по закону s(t)=16t+2t3. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t=2 с.
2. В тонком неоднородном стержне длиной 25см его масса (в г) распределена по закону m=2l2 + 3l , где l – длина стержня, отсчитавшая от его начала.
Найти линейную плотность в точке:
отстоящей от начала стержня на 3см;
в конце стержня.

Взаимопроверка
Вариант 1.
v(t)=s’(t)= 12+9t²;
v(2)=12+36=48 (м/с);
a(t)=v’(t)= 18t;
a(2)=18·2= 36 (м/с²).
2. Ответ: 902,5 Дж.
Вариант 2.
v(t)=s’(t)= 16+6t²;
v(2)= 40 (м/с);
a(t)=v’(t)= 12t;
a(2)= 24 (м/с²).
2.Ответ:15г/см; 103г/см.

ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
1. (с)’ = 0
2. (un)’ =n∙un-1∙u’
3. (
)’ =
∙u’
4. (
)’ = -
∙ u’
5. (au)’ = au ∙ ln a ∙u’
6. (eu)’ = eu ∙u’
(
)’ =
∙ u’
8.
(ln u)’ =
∙u’
9.
10.
11.
(sin u)’ = cos u ∙ u’
7.
(cos u)’ = - sin u∙u’
12.
(tg u)’ =
∙u’
(ctg u)’ = -
∙u’