Матрицы и системы линейных уравнений

Примеры матриц
1. Нулевая матрица О – матрица, у которой все элементы :
(1.2)
2. Единичная матрица Е – квадратная матрица, у которой элементы:
при , а при , т. е.
(1.3)

3. Диагональная матрица – квадратная матрица, у которой
элементы:
при ,
а при : (1.4)
4. Матрица «треугольного вида» («верхнетреугольного вида»),
– квадратная матрица,
у которой все элементы,
расположенные «под (1.5)
главной диагональю»,
равны нулю, т. е.
.

Замечание. «Главной диагональю» произвольной матрицы называют
группу элементов , , … , (при ), либо группу элементов
, ,…, (при ).
5. Матрица «почти треугольного вида», – прямоугольная матрица, у которой все элементы , расположенные под «главной диагональю», равны нулю, т. е. при m > n
(1.6)

либо при m < n
(1.7)
Определение 1.2 (равенство матриц). Матрица А называется равной матрице В (А = В), если обе матрицы имеют одинаковый размер m × n и, кроме того, все соответствующие элементы равны между собой: .
Например. Если
, , ,
то А = В, А ≠ С, В ≠ С.

Определение 1.3 (сумма двух матриц). Пусть даны две матрицы и
, тогда суммой А + В матриц А и В называется матрица , у
которой элементы .
Например.
Определение 1.4 (произведение матрицы на число). Пусть дана матрица и число λ. Произведением числа λ на матрицу А называется такая
матрица , у которой все элементы .
Например.
Определение 1.5 (произведение двух матриц). Пусть даны две матрицы
и , тогда произведением матрицы А (слева) на матрицу В (справа)
называется матрица , у которой элементы находятся так:
(1.8)

Свойства операций над матрицами
1) – коммутативность,
2) , 3) , ,
4) Произведение матриц зависит от порядка расположения сомножителей, то есть, .
5) – ассоциативность.
6) – дистрибутивность.
Например. Если , , , то

Замечание. – умножение невозможно. Кроме того:
Определение 1.6. Дана квадратная матрица . Обратной матрицей к матрице А называется такая матрица , которая обладает следующими свойствами:
(1.9)
где Е – единичная матрица такого же размера.
Замечание. Не всякая квадратная матрица имеет к себе обратную .
Например: матрица не имеет к себе обратной, т. к. если
по определению 1.2 должны выполняться все равенства: