Схема Горнера

Проверка выполненных заданий
№31.4 Выполните деление «уголком» многочлена:
4) 6х4 − 2х + 3 на многочлен 2х + 3.
Решение:
6х4 − 2х + 3
2х + 3
3х3
6х4 + 9х3
─
-9х3 − 2х+3
-4,5х2
─
13,5х2 – 2х+3
Дальнейшее деление
невозможно, т.к. степень
последнего остатка
меньше степени делителя.
-9х3 − 13,5х2
+6,75х
-11,125
─
13,5х2 +20,25х
-22,25х+3
─
-22,25х-33,375
-36,375

Схема Горнера.
Существенно сократить и упростить вычисления
помогает один несложный приём сокращённого
деления, называемый схемой Горнера
(Горнер Вильямс Джордж ─ английский математик ).
Покажем его практическое применение на конкретном
примере, затем запишем алгоритм

Многочлен х³ ─ х² ─ 8х + 6 1) разделить на х ─ 3
2) представить в виде произведения.
3
1
─1
─ 8
6
1
●
+
2
●
+
─2
●
+
0
В n первых клетках второй её строки получаем
коэффициенты частного, расположенные в
порядке убывания степеней х;
в (n + 1) - й клетке получаем остаток от деления.
х³ ─ х² ─ 8х + 6 = (х ─ 3) ∙ (х² + 2х ─ 2).
а1
b2
а2
а3
а0
b1
b0
R
Построенная таблица и называется схемой Горнера.

Схема Горнера.
В верхней строке таблицы записываем
коэффициенты при х, располагая их в порядке
убывания степеней , если соответствующая порядку
степень отсутствует, то соответствующий коэффициент
равен 0.
2. Перед таблице записываем известный целый корень
многочлена.
3. Нижнюю строку таблицы заполняем по правилу:
а) значение первого коэффициента переписываем;
б) в каждой следующей клетке записываем число,
равное сумме коэффициента, стоящего над ним и
произведения числа, расположенного перед таблицей,
на число находящееся в соседней слева клетке.

Разделите многочлен 3х5+5х4+11х2+2х на двучлен х+1.
Решение:
3
5
0
11
2
0
-1
3
2
-2
13
-11
11
b4
b3
b2
b1
b0
остаток
3х5+5х4+11х2+2х=(х+1)(3х4+2х3-2х2+13х-11)+11