Степенные функции, их свойства и графики

Заголовок слайда
Функция вида у = хr (где r - любое действительное число (в том числе и иррациональное)) называют
степенными функциями.
Если r - натуральное число (r = n), то получаем функцию y = xn.

Если r = -n, то получаем степенную функцию y = x-n или

При r = 0 имеем функцию y = x0 или у = 1
(где х ≠ 0). Графиком такой функции является горизонтальная прямая у = 1 с выколотой точкой
х = 0 (х>0).
1

Рассмотрим теперь степенные функции
С рациональными показателями степени.
Их свойства и графики существенно зависят от показателя степени.

Область определения D(f) = [0; +∞).
Определённой чётности не имеет.
Возрастает на промежутке [0; +∞).
Ограничена снизу и не ограничена сверху.
Наименьшее значение унаим = 0, наибольшего значения не имеет.
Непрерывна.
Область значений Е(f) = [0; +∞).
Выпукла вниз.
Свойства функции:
1
1

Область определения D(f) = [0; +∞).
Определённой чётности не имеет.
Возрастает на промежутке [0; +∞).
Ограничена снизу и не ограничена сверху.
Наименьшее значение унаим = 0, наибольшего значения не имеет.
Непрерывна.
Область значений Е(f) = [0; +∞).
Выпукла вверх.
Свойства функции:
1
1

Область определения D(f) = (0; +∞).
Определённой чётности не имеет.
Возрастает на промежутке (0; +∞).
Ограничена снизу и не ограничена сверху.
Наименьшего и наибольшего значений не имеет.
Непрерывна.
Область значений Е(f) = (0; +∞).
Выпукла вверх.
Свойства функции:
1
1

Теорема.
Если х>0 и r – любое рациональное число, то производная степенной функции y = xr вычисляется по формуле

Пример 1.
Найдём производную функции:
При этом было использовано правило дифференцирования

Пример 2.
Исследуем функцию
На монотонность и экстремумы и
построим её график.
1. Найдём производную функции:
2. Функция существует при х ≥ 0, производная существует при х>0. Поэтому критических точек у функции нет. Стационарную точку найдём из условия или , откуда х=1.
3. Очевидно, что при х (0;1], значение у'≤0 и функция у(х) убывает на этом промежутке. При х [1;+∞) значение у'≥0 и функция у(х) возрастает. В точке х = 1 функция у(х) имеет минимум
э
э

4. График функции у(х) пересекает ось абсцисс в точке, которая является решением уравнения или , откуда
х=0 или х=3.
5. Построим график функции у(х).
1
3

Пример 3.
Напишем уравнение касательной к графику функции в точке а = 1.
Напомним общий вид уравнения касательной: y = f(a) + f‘(a)(x-a)
1. Найдём значение функции:
2. Найдём производную функции:
и её значение .
3. Подставим значения f(a), f'(a) и а в уравнение касательной и получим:

Контрольные вопросы:
1. Определение степенной функции у = хr.
2. Свойства функции и её график для:
3. Производная степенной функции.