Z-преобразование. Лекция 4

1. Прямое Z-преобразование
Смысл z-преобразования заключается в том, что последовательности чисел {x(k)} ставится в соответствие функция комплексной переменной z, определяемая следующим образом:
(4.1)
Разумеется, функция X(z) определена только для тех значений z, при которых ряд (4.1) сходится.
Z-преобразование играет для дискретных сигналов и систем такую же роль, как пре-образование Лапласа — для аналоговых. Определяющим при этом является тот факт, что, z-преобразование импульсной характеристики дискретной системы является дробно-рациональной функцией переменной Z.

В таблице 4.1 представлены z-изображения некоторых числовых последовательностей:

Примеры вычисления z-преобразования
Вычислим z-преобразование для некоторых часто встречающихся на практике дискретных сигналов.
Единичная импульсная функция
Единичная импульсная функция является дискретным аналогом дельта-функции и представляет собой одиночный отсчет с единичным значением:
Расчет его z-преобразования не представляет сложности:
Функция X0(z) сходится на всей комплексной плоскости.

Единичный скачок
Дискретный единичный скачок по смыслу полностью соответствует своему аналоговому прообразу.
Используя определение z-преобразования (4.1), получаем
(4.2)
Дискретная экспоненциальная функция
Дискретная экспоненциальная функция определяется следующим образом:

Для вычисления z-преобразования нужно вычислить сумму следующего ряда:
Дискретная затухающая синусоида
Последняя из рассматриваемых здесь дискретных последовательностей представляет собой отсчеты синусоиды с произвольными частотой и начальной фазой и экспоненциально меняющейся амплитудой:
Для вычисления z-преобразования можно представить косинус по формуле Эйлера в виде полу-суммы двух комплексных экспонент, а потом воспользоваться уже готовым результатом (таблица 4.1):

2. Связь с преобразованием Лапласа
Дискретное z-преобразование очень просто связано с преобразованиями Лапласа и Фурье. Рассмотрим последовательность, определенную как {x(k)}, и сопоставим ей временной сигнал в виде набора дельта-функций:
(4.3)
где T =1/f — интервал дискретизации. Преобразование Лапласа для сигнала равно:
Воспользовавшись фильтрующим свойством дельта-функции, получим:
(4.4)

Эта формула представляет дискретное преобразование Лапласа (ДПЛ) решётчатой функции x[n], в которой q=pT=σ+jωТ — комплексная переменная. Эта формула переходит в выражение (1), определяющую z-преобразование, если выполнить подстановку z=eq=epT.
Характерной особенностью ДПЛ является то, что комплексный аргумент q входит в изображение X(q) в виде показателя экспоненты eq. Но комплексная экспонента eq является периодической функцией в Q-плоскости с периодом, равным 2πj , т.е. eq+j2πk=eq, где k — произвольное целое число, поэтому изображение X(q) решётчатой функции x[n] полностью определяется в любой полосе Q-плоскости шириной 2π , параллельной вещественной оси. Обычно эта полоса выбирается симметрично по отношению к вещественной оси, как показано на рис. 1,б, и называется основной.

Рис.1. Расположение комплексно-сопряжённых полюсов изображений вещественных сигналов x(t) и x[n]: a — P-плоскость; б — Q-плоскость; в — Z-плоскость

При Re(q) < σ0T функция X (q) может иметь особые точки — полюсы, в которых X(q) обращается в бесконечность. Если решётчатая функция x[n] является вещественной, то в симметричной относительно оси σT полосе каждому комплексному полюсу qi=σiT+jωiT функции X(q) соответствует комплексно-сопряжённый полюс qi*=σiT-jωiT. Для комплексных решётчатых функций x[n] это утверждение не справедливо.
ДПЛ позволяет производить над разностными уравнениями такие же алгебраические действия, какие допускает обычное преобразование Лапласа над интегро-дифференциальными уравнениями. Однако проведение алгебраических действий над ДПЛ неудобно из-за того, что в выражении X(q) фактическим аргументом является экспонента eq.
Для устранения этого недостатка вводится новая комплексная переменная
z=eq=epT=exp(σT+jωT) (4.5)

Замена комплексной переменной приводит к отображению одной комплексной плоскости в другую. При замене (4.5) левая полуплоскость P-плоскости и левая часть основной полосы Q-плоскости преобразуются в круг единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 1, в).
С учётом обозначения (4.5) формулу (4.4) перепишем в виде
(4.6)
Полученное выражение является главной частью ряда Лорана, Лорана, представляющего функцию X(z) в Z-плоскости. Функция комплексного аргумента X(z) есть одностороннее Z-преобразование или просто Z-преобразование решётчатой функции x[n].
Если оригиналы x(t) и x[n] являются вещественными функциями, то комплексным полюсам их изображений X(p) в P-плоскости, X(q) в Q-плоскости и X(z) в Z-плоскости соответствуют комплексно-сопряжённые полюсы в этих плоскостях (на рис.1 полюсы pi и p*i, qi и q*i, zi и z*i). В случае же комплексных оригиналов x(t) и x[n] это свойство не выполняется.