Свойства функции

Содержание

Слайд 2

Алгоритм исследования функции

1. Область определения
2. Множество значений
3. Чётность , нечётность
4.

Алгоритм исследования функции 1. Область определения 2. Множество значений 3. Чётность ,
Периодичность
5. Непрерывность
6. Промежутки возрастания и убывания
7. Ограниченность функции
8. Нули функции
9. Точки экстремума (наибольшее и наименьшее значение функции)
10. Выпуклость графика
Выпуклость

Слайд 3

1. Область определения

Область определения функции у = f(x) - это множество всех

1. Область определения Область определения функции у = f(x) - это множество
действительных значений переменной х , при которых функция имеет смысл. Обозначение: Д(х).

Область определения функции у =
Д(х)= (- , т. к. подкоренное выражение всегда больше или равно нулю.

Слайд 4

2. Множество значений

Множество значений функции у = f(x) - это множество всех

2. Множество значений Множество значений функции у = f(x) - это множество
действительных значений переменной у , которые функция может принимать при данном х. Обозначение: Е(у).

Множество значений функции у =
Е(у)= , т. к. значение подкоренного выражения всегда больше или равно нулю.

Слайд 5

3.Чётность и нечётность функции

Функцию у = f(x) называют чётной, если для любого

3.Чётность и нечётность функции Функцию у = f(x) называют чётной, если для
значения х из множества Д(х) выполняется равенство
Функцию у = f(x) называют нечётной, если для любого значения х из множества Д(х) выполняется равенство
Функция у = f(x) не является ни чётной, ни нечётной, если хотя бы в одной точке из множества Д(х) выполняются неравенства

Слайд 6

Особенности графиков функций

Если график функции симметричен относительно оси ординат Оу, то функция

Особенности графиков функций Если график функции симметричен относительно оси ординат Оу, то
чётная.
Если график функции симметричен относительно начала координат, то функция нечётная.
Если график функции не симметричен, то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Слайд 7

Графики чётных и нечётных функций

Графики чётных и нечётных функций

Слайд 9

4. Периодичность функции

Периодическая функция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный

4. Периодичность функции Периодическая функция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый
интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу х некоторого фиксированного ненулевого числа (периода функции) на всей области определения.
Функция называется периодической, если существует такое число T≠0 (период), что на всей области определения функции Д(х) выполняется равенство .

Слайд 11

Графики периодичных функций

Графики периодичных функций

Слайд 12

5. Непрерывность функции

Непрерывность функции на отрезке Д(х) – означает, что

5. Непрерывность функции Непрерывность функции на отрезке Д(х) – означает, что график
график функции на данном промежутке не имеет точек разрыва

Слайд 13

Графики разрывных функций

Графики разрывных функций

Слайд 14

Термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а

Термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование
исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием функции на монотонность.

6. Монотонность функции

Слайд 15

Возрастающая функция

Функцию у = f(x) называют возрастающей на множестве Д(х) ,

Возрастающая функция Функцию у = f(x) называют возрастающей на множестве Д(х) ,
если для любых точек x1 и x2 из множества Д(х), таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2).

Слайд 16

Условие возрастания

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Условие возрастания Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Слайд 17

Убывающая функция

Функцию у = f(x) называют убывающей на множестве Д(х) ,

Убывающая функция Функцию у = f(x) называют убывающей на множестве Д(х) ,
если для любых точек x1 и x2 из множества Х, таких , что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1 ) > f(x2).

Слайд 18

Условие убывания функции

Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее

Условие убывания функции Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
значение функции.

Слайд 19

7. Ограниченность функции

Если функция ограничена и снизу и сверху на всей

7. Ограниченность функции Если функция ограничена и снизу и сверху на всей
области определения, то её называют ограниченной.

Слайд 20

Ограниченность снизу

Функцию у= f(x) называют ограниченной снизу на множестве Д(х), если

Ограниченность снизу Функцию у= f(x) называют ограниченной снизу на множестве Д(х), если
все значения этой функции больше некоторого числа m, т.е. существует такое число m, что для любого значения х выполняется неравенство f(x) > m

Слайд 21

Ограниченность сверху

Функцию у=f(x) называют ограниченной сверху на множестве Д(х) ,

Ограниченность сверху Функцию у=f(x) называют ограниченной сверху на множестве Д(х) , если
если все значения этой функции на множестве Д(х) меньше некоторого числа М , т.е. существует такое число М , что для всех значений х выполняется неравенство f(x) < М

Слайд 22

Графики ограниченной снизу и ограниченной сверху функций

Графики ограниченной снизу и ограниченной сверху функций

Слайд 23

8. Нули функции

Нули функции – это такие значения аргумента х, при которых

8. Нули функции Нули функции – это такие значения аргумента х, при
функция у = f(x) равна нулю.
Нули функции – это абсциссы точек пересечения с осью Ох

Слайд 24

9. Наименьшее значение функции

Число m называют наименьшим значением функции у

9. Наименьшее значение функции Число m называют наименьшим значением функции у =
= f(x) на множестве Д(х) , если:
1)во множестве Х существует такая точка x0 , что f(x0) = m
2) для любого значения х из множества Х выполняется неравенство

Слайд 25

Наибольшее значение функции

Число m называют наибольшим значением функции у = f(x)

Наибольшее значение функции Число m называют наибольшим значением функции у = f(x)
на множестве Д(х), если:
1)во множестве Д(х) существует такая точка, что f(x0) = т
2) для любого значения х из множества Д(х) выполняется неравенство

Слайд 27

Условия существования экстремума

Если у функции существует yнаиб,
то она ограничена сверху.
Если у

Условия существования экстремума Если у функции существует yнаиб, то она ограничена сверху.
функции существует yнаим, то она ограничена снизу.

Слайд 28

Максимум функции

Точку x0 называют точкой максимума функции у = f(x), если

Максимум функции Точку x0 называют точкой максимума функции у = f(x), если
у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки x0) выполняется неравенство

Слайд 29

Минимум функции

Точку x0 называют точкой минимума функции у = f(x), если

Минимум функции Точку x0 называют точкой минимума функции у = f(x), если
у этой точки существует окрестность, для всех точек которой ( кроме самой точки x0) выполняется неравенство
Точки максимума и минимума объединяют общим названием – точки экстремума

Слайд 30

10. Выпуклость функции

Функция выпукла вниз на промежутке Д(х), если, соединив любые две

10. Выпуклость функции Функция выпукла вниз на промежутке Д(х), если, соединив любые
точки её графика отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.
Функция выпукла вверх на промежутке Д(х), если, соединив любые две точки её графика отрезком, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.