Свойства функций. Монотонность

y = f(x)
y = f(x) – возрастающая функция

y = f(x)
y = f(x) – убывающая функция

Функция у = f(х) называется монотонной на множестве Х, если она на этом промежутке или убывает или возрастает.

Если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (а; b), то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания.

На промежутке ( –∞;–5 ] и [ 3;+∞ ) –
возрастает;
на промежутке [–5;3] – убывает.

Пример. Исследовать функцию на монотонность: у = 6 – 2х.
Решение.
f(х) = 6 – 2х.
х1 < х2
f(х1) > f(х2);
–2х1> –2х2;
⟹
6 – 2х1 > 6 – 2х2;
Ответ: заданная функция убывает на всей числовой прямой.

y = kx + b, при k > 0
y = x3
возрастающие функции,
при х ∊ D(f).

Свойство 2. Ограниченность.

Если у = f(х), для любого х ∈ Х, f(х) > m,
где X ∈ D(f), m – некоторое число.
y = f(x)
y = m
Функция у = f(х) ограничена снизу.

Если у = f(х), для любого х ∈ Х, f(х) < M,
где X ∈ D(f), M – некоторое число.
y = f(x)
y = M
Функция у = f(х) ограничена сверху.

Функция у = f(х) – ограниченная.
y = f(x)

y = M
y является наибольшим если:
1. существует точка х0 ∈ Х такая, что f(х0) = M;
2. ∀х ∈ Х выполняется неравенство f(х) ≤ f(х0);

y = M
y = m

Если у функции существует унаим. ,
то она ограничена снизу.
Если унаиб. , то ограничена сверху.

Пример. Найти наименьшее значение функции.
Решение.
унаим. = 0;
унаиб. не существует;
Ответ: унаим. = 0.

Свойство 3. Выпуклость.

Функция у = f(х) выпукла вниз на промежутке X ∊ D(f);

Функция у = f(х) выпукла вверх на промежутке X ∊ D(f).

Свойство 4. Непрерывность.

Функция называется непрерывной на промежутке, если она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Функция у = f(х) непрерывна на промежутке X ∊ D(f);

Свойство 5. Четность, нечетность.

Если х ∊ D(f), f(–х)= f(х), то y = f(x) – четная.

Функция у = х2 – четная функция,
т.к. f(–x) = (–x)2 = x2 = f(x);

Если х ∊ D(f), f(–х)= –f(х), то у = f(x) – нечетная.

Функция у = х3 – нечетная функция,
т.к. f(–x) = (–x)3 = –x3 = – f(x);