Стереометрические задачи повышенной сложности

Вариант 201
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD.
Основание AD в два раза больше основания ВС.
На ребре SC взята точка M, такая, что SM:MC=2:1.
Сечение, проходящее через точки A,B и M, пересекает ребро SD в точке N.
а) Докажите, что SN=DN
б)Найдите отношение объемов тетраэдра SAMN и пирамиды ACDNM

S
A
D
B
C
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD.
Основание AD в два раза больше основания ВС.
На ребре SC взята точка M, такая, что SM:MC=2:1. Сечение,
проходящее через точки A,B и M, пересекает ребро SD в точке N.
а) Докажите, что SN=DN
б)Найдите отношение объемов тетраэдра SAMN и пирамиды ACDNM
M
P
N
Проведем SP ll BC.
BM пересекает SP в точке P.
MNAB –искомое сечение
Проведем AP. Она пересекает SD в точке N
Построение.

S
A
D
B
C
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD. Основание AD в два раза больше основания ВС. На ребре SC взята точка M, такая, что SM:MC=2:1. Сечение,
проходящее через точки A,B и M, пересекает ребро SD в точке N.
а) Докажите, что SN=DN
M
P
N
Доказательство.
B
C
S
P
M
SMP подобен CMP
SP=2 BC
По условию, AD=2BC
Значит, SP=AD
ASPD -параллелограмм
Диагонали APи SD точкой пересечения делятся пополам.
N- середина SD.

S
A
D
B
C
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD. Основание AD в два раза больше основания ВС. На ребре SC взята точка M, такая, что SM:MC=2:1. Сечение,
проходящее через точки A,B и M, пересекает ребро SD в точке N.
б)Найдите отношение объемов тетраэдра SAMN и пирамиды ACDNM
M
N
Решение.

S
A
D
B
C
В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD. Основание AD в два раза больше основания ВС. На ребре SC взята точка M, такая, что SM:MC=2:1. Сечение,
проходящее через точки A,B и M, пересекает ребро SD в точке N.
б)Найдите отношение объемов тетраэдра SAVN и пирамиды ACDNM
M
N
Решение.
M
N
M1
S
C
D
N1

Вариант 203
На ребре А 1 правильной призмы ABCDA1B1C1D1
отмечена точка М так, что АМ:МА1 =2:1.
Точка М является вершиной прямого конуса, на окружности основания которого лежат три вершины призмы, включая В1 .
а) Докажите, что угол МDA равен 30⁰.
б) Найдите площадь боковой поверхности конуса,
если АВ=

M
D1
С
С1
D
В1
А1
А
В
На ребре АА1 правильной призмы ABCDA1B1C1D1
отмечена точка М так, что АМ:МА1 =2:1. Точка М
является вершиной прямого конуса, на окружности
основания которого лежат три вершины призмы,
включая В1 .а) Докажите, что угол МDA равен 30⁰.
б) Найдите площадь боковой поверхности конуса,
если АВ=
Пусть АВ=AD=a, а AA1=h

M
D1
С
С1
D
В1
А1
А
В
На ребре АА1 правильной призмы ABCDA1B1C1D1
отмечена точка М так, что АМ:МА1 =2:1. Точка М
является вершиной прямого конуса, на окружности
основания которого лежат три вершины призмы,
включая В1 .а) Докажите, что угол МDA равен 30⁰.
б) Найдите площадь боковой поверхности конуса,
если АВ=
С
В1
H
D1