Теория вероятностей и математическая статистика. Многомерные распределения вероятностей

Определения

Общий план исследования двумерного распределения вероятностей
Составить закон распределения вероятностей (Х,Y).
Найти законы распределения и числовые характеристики случайных величин Х и Y.
Установить зависимы или независимы с.в. Х и Y.
Составить ковариационную и корреляционную матрицы.
Описать регрессии величины Х на Y и величины Y на Х.
Построить наилучшие в среднем квадратическом оценки величины Х по Y и величины Y по Х.
Проверить формулу полного математического ожидания.

Функцией распределения F(x, y) двумерной случайной величины (X, Y) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств: X
1. Функция распределения – величина неотрицательная, не превышающая единицы:
.
2. Функция распределения есть неубывающая функция по каждому аргументу.
3. Если хотя бы один из аргументов стремится к – ∞ , то функция распределения стремится к нулю:
Функция распределения. Свойства функции распределения

Функция распределения. Свойства функции распределения
4. Если оба аргумента стремятся к + ∞, то функция распределения стремится к единице:
5. Если один из аргументов обращается в +∞, то функция распределения F(x,y) становится функцией распределения, соответствующей другому аргументу:
6. Вероятность попадания случайной величины {X, Y} в прямоугольник со сторонами R=(x1 < X < x2, y1< Y

Зная матрицу распределения системы двух ДСВ легко найти законы распределения отдельных случайных величин, входящих в систему:

Двумерная случайная величина {X,Y} называется непрерывной, если каждая из случайных величин X и Y является непрерывной. Система двух НСВ обычно описывается плотностью распределения:
Свойства плотности распределения f(x,y):

Дискретные двумерные распределения вероятностей
Задача
Дважды бросается игральная кость.
Случайные величины:
Х – число появлений шестерки,
Y – число появлений нечетной цифры.

Составить закон распределения вероятностей (Х,Y):
таблица распределения;
функция распределения.
2. Найти законы распределения и числовые характеристики случайных величин Х и Y.

хi
yj

Установить зависимы или независимы с.в. Х и Y
События A и B называются независимыми, если
P(AB) = P(A)·P(B).
Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая.
Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих
F(x,y) = FХ(x)·FY(y).

Установить зависимы или независимы с.в. Х и Y
Пусть X и Y дискретные случайные величины
Случайные величины X и Y независимы тогда и только тогда, когда для любых значений xi и yj выполнено
P(X = xi,Y = yj) = P(X = xi)·P(Y = yj).
Пусть X и Y
непрерывные случайные величины
Случайные величины X и Y независимы тогда и только тогда, когда
fXY(x,y) = fX(x)·fY(y).

Ковариация и коэффициент корреляции
Ковариацией (смешанный второй центральный момент, корреляционный момент) случайных величин X и Y называют число
cov(X,Y) = M((X−MX)·(Y−MY))
cov(X,Y) = MXY−MX·MY.
MXY=MX·MY+ cov(X,Y)
D(X + Y) = DX +DY + 2cov(X,Y)

Свойства ковариации

Коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции
Если коэффициент корреляции равен нулю, то величины называют некоррелированными.
Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя сделать вывод о независимости этих величин.
Для некоторых распределений понятия независимости и некоррелированности являются эквивалентными.
В частности, если случайные величины X и Y имеют нормальное распределение и ρXY = 0, то они независимы.

Ковариационная и корреляционная матрицы

Регрессии величины Х на Y и величины Y на Х
Условное математическое ожидание случайной величины Y при условии, что Х приняла одно из своих возможных значений;
Функция регрессии величины Y на Х;
Условное математическое ожидание случайной величины Y при условии Х - случайная величина;
Наилучшая в среднем квадратическом оценка величины Y по величине Х;
Формула полного математического ожидания.

Условное распределение

Функция регрессии

Наилучшая в среднем квадратическом оценка величины Y по величине Х

Формула полного математического ожидания
М(М(Y/X) = M(Y)
случайная величина

Непрерывные двумерные распределения вероятностей

Двумерное нормальное распределение вероятностей
r - коэффициент корреляции случайных величин X и Y
σx - среднее квадратическое отклонение случайной величины X
σy - среднее квадратическое отклонение случайной величины Y
mx- математическое ожидание случайной величины X
my - математическое ожидание случайной величины Y

r = 0
σx = 2
σy = 2
mx = -1
my = 1