Л 7 Предел числовой последовательности

1. Числовые последовательности
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность
x1, х2, …, хn = {xn}
Общий элемент последовательности является функцией от n.
xn = f(n)
Последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел.

Примеры последовательностей
{xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …
{xn} = {sin(πn/2)} или {xn} = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции:
1) Умножение последовательности на число k:
k{xn} = {k xn}, т.е. k x1, k x2, …
2) Сложение (вычитание) последовательностей:
{xn} ± {yn} = {xn ± yn}.

Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М > 0, что для любого n верно неравенство:
т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).
Определение ограниченной последовательности

Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной сверху, если существует такое число М > 0, что для любого n верно неравенство:
xn ≤ M.

Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной снизу, если существует такое число М > 0, что для любого n верно неравенство:
xn ≥ M.
Пример. {xn} = n
{1, 2, 3, … } – ограничена снизу .

Определение.
Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая.
2) Если xn+1 ≥ xn для всех n, то последовательность неубывающая.
3) Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая.
4) Если xn+1 ≤ xn для всех n, то последовательность невозрастающая.
Типы числовых последовательностей

Последовательности (2) и (4) называются монотонными.
Последовательности (1) и (3) называются строго монотонными.
Пример.
{xn} = 1/n – убывающая и ограниченная
{xn} = n – возрастающая и неограниченная.

Определение. Число а называется пределом числовой последовательности {xn}, если для любого положительного числа ɛ существует целое положительное число N (зависящее от ɛ, N=N(ɛ) ), такое, что для всех членов последовательности с номерами n ≥ N выполняется неравенство .
В.2. Предел последовательности и его свойства

или
при n →∞ .
Обозначают

Запись определения предела в логических кванторах

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
Так как
- ɛ-окрестность
Сходящаяся последовательнось

Число а является пределом последовательности {xn}, если для любого ɛ > 0 найдется номер N , начиная с которого, все члены последовательности принадлежат ɛ-окрестности точки а.
Геометрический смысл предела последовательности:

Таким образом, последовательность {xn}, сходится к числу а, если вне любой
ɛ-окрестности точки а имеется лишь конечное число членов этой последовательности.

Сходящаяся последовательность {xn} имеет единственный предел.
Доказательство.
Действительно, предположим, что хn → a и одновременно yn → b. Возьмем любое
и отметим окрестности точек a и b радиуса ε.
Теорема 1.

Тогда, по определению предела, все элементы последовательности, начиная с некоторого, должны находиться как в окрестности точки а, так и в окрестности точки b, что невозможно.

Всякая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.
Теорема 2.

Если из последовательности можно выделить две подпоследовательности, сходящиеся к а и b, где а ≠ b, то последовательность не имеет предела.
Например,
Следствие.

Теорема 3. Сходящаяся последовательность ограничена.
Замечание. Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся.
Например, последовательность
ограничена, но не является сходящейся.

Если последовательность {xn}, имеет предел а > 0 ( a < 0 ), то, начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство xn > 0 (xn < 0 ), т.е. члены последовательности сохраняют знак а.
Теорема 4.

Если
и a < b , то, начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство .
Следствие.

Пусть
и члены последовательности
удовлетворяют условию
то
Теорема 5.

Если последовательности {xn} и {yn} сходятся и
, то:
Теорема 6.

Теорема 7. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Теорема 8. (принцип Больцано-Вейерштрасса) Из всякой ограниченной бесконечной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность.