Векторы
Определение. Вектором назовём направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, ограниченный двумя
точками, одна из которых называется начальной, а другая конечной.
Изображение и обозначения
Компланарные векторы
Вектор, точка приложения которого может быть выбрана произвольно, называют свободным.
Линейные операции над векторами
К линейным операциям относятся операции умножения вектора
на
число, сложения и вычитания векторов.
Свойства линейных операций над векторами
Линейная зависимость векторов. Аффинный базис
Базис в трехмерном пространстве
Прямоугольный декартов базис
Длина вектора, заданного концами – расстояние между точками
Направляющие косинусы вектора
Направление вектора в пространстве определяется углами α, β
и γ между вектором и положительным направлением соответствующих осей координат ОХ, ОУ, ОZ; cos α, cos β и cos γ называются направляющими косинусами вектора.
Деление отрезка в данном отношении
Свойства скалярного произведения
Вычисление проекции вектора на вектор
Скалярное произведение в декартовой системе координат
Скалярное произведение орт
Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных проекций
Модуль векторного произведения
Основные свойства векторного произведения
Векторное произведение в декартовой системе координат
Векторное произведение орт
С помощью определения векторного произведения можно решать задачу о вычислении площади треугольника,
построенного на векторах как на сторонах (рис 2.26).
Смешанное произведение трёх векторов
Смешанное произведение в декартовой системе координат
Вычислим предварительно векторное произведение
Геометрический смысл смешанного произведения
Построим на векторах как на рёбрах параллелепипед
Вывод: модуль смешанного произведения трёх векторов равен объёму параллелепипеда, построенного на этих
векторах как на рёбрах.
Свойства смешанного произведения
Все свойства смешанного произведения доказываются с помощью свойств определителя!