8 Оптимальный размер заказа

При наличии на складе поставщика широкой номенклатуры продукции (товаров) встает вопрос о возможной организации, одновременной поставки потребителю n номенклатур. Аргументами в пользу объединения разных номенклатур в один заказ являются:
· требование поставщика о стоимости каждого заказа не ниже некоторой предельной величины;
· реализация полной загрузки используемых транспортных средств;
· ограничение количества отправок и их периодичности каждому клиенту (синхронизация поставок);
· снижение затрат на организацию, комплектацию партий поставок, поставляемых клиенту.
Рассмотрим составляющую затрат, связанную с многономенклатурной Поставкой от одного партнера. Очевидно, эти затраты можно
представить в виде двух составляющих: постоянной (определяемой
главным образом стоимостью транспортировки) и переменной, зависящей от объема выполняемых на складе операций при формировании заказа. Тогда для каждой iй номенклатуры затраты, связанные с организацией одной поставки, будут определяться по формуле
, (8.32)
а для всей номенклатуры в виде одной поставки:
, (8.33)

При независимых заказах для каждой iй позиции номенклатуры расчет оптимальной величины заказа , количества заказов , периодичности и минимальных суммарных затрат производится по формулам (8.4), (8.6)-(8.8).
При подстановке вместо суммирование по всей номенклатуре позволяет получить оценку затрат при независимой поставке каждой iй позиции:
(8.34)

Рассмотрим один из возможных подходов к решению задачи. 3aпишем основное уравнение для суммарных затрат iй номенклатуры в виде
Известно, что размер iй поставки можно определить по формуле
(8.36)
Подставляя, получим
Очевидно, что при условии , т. е. одновременной поставке n позиций номенклатуры, уравнение для суммарных затрат можно представить в виде
Определим оптимальное значение периодичности многономенклатурной поставки , взяв производную по Т и приравняв ее к нулю. Отсюда найдём выражение для оптимальной периодичности:
Найдем остальные параметры, характеризующие многономенклатурную поставку:
Количество поставок:
При подстановке в формулу (8.38) после преобразований находим выражение для минимальных суммарных затрат:

Пример 8.7. Рассмотрим последовательность расчета многономенклатурной поставки, включающей два вида продукции. Исходные данные приведены в табл. 8.13. Вначале рассчитаем параметры при независимых поставках. Так, для первого вида продукции находим EOQ:
Количество заказов = 3000/297 = 10.
Периодичность = 365/10 = 36,5 дн.
Минимальные затраты
Общее количество заказов
Общие затраты при независимых поставках
На рис: 8.10 приведены составляющие суммарных затрат для каждого вида продукции.
Выполним расчеты при условии совместной поставки (табл. 8.14).

Время выполнения заказа:
Количество заказов:
Оптимальное количество каждого вида продукции при совместной поставке:
Суммарные затраты (при = 34 дн.):
Соответствующие зависимости и при многономенклатурной поставке приведены на рис. 8.11. Из рис. 8.11 виден механизм многономенклатурности: при объединении в одну партию отправки происходит незначительное увеличение затрат, связанных с выполнением заказа.

Сопоставление суммарных затрат при независимых и многопродуктовых поставках показывает, что во втором случае наблюдается значительное уменьшение затрат:

Пример 8.8. В табл. 8.15 приведены исходные данные и результаты
расчета основных параметров EOQ при независимой и одновременной поставке 9 видов продукции от одного поставщика. При расчетах
было принято, что Со = 18 у. е., а Сi = const = 2 у. е.
Из табл. 8.15 следует, что при независимых поставках их количество составляет , а суммарные затраты
При подстановке в формулы (8.40)-(8.43) данных табл. 8.15 находим период одновременной поставки:
Минимальные суммарные затраты:
Количество заказов:
Таким образом, применение многономенклатурной поставки позволяет снизить суммарные затраты на:

Учет ограничений. При расчете многономенклатурных поставок особое значение приобретает учет ограничений, связанных с объемом(площадью) и грузоподъемностью транспортных средств, объемом (площадью) складских помещений, наличием средств для приобретения всей партии и т. д. Следует отметить, что такие же ограничения должны учитываться при однономенклатурных поставках.
Проведенные расчеты показали, что в общем виде учет ограничений указанных параметров производится с использованием формулы
где предельные значения физического или экономического показателя;
- интенсивность потребления (расхода) iгo продукта, ед./день;
- физический или экономический показатель iгo продукта.
Если период многономенклатурной поставки , то ее параметры рассчитываются по формулам (8.40)-(8.43).
Если , то в качестве расчетного периода принимается и производится корректировка :
При наличии нескольких критериев: - периоды времени, рассчитанные по формуле (8.44) с учетом различных критериев: объем, вес, затраты и т. п.

Пример 8.9. Рассмотрим многономенклатурную поставку (n= 3)
с учетом ограничения на объем кузова автомобиля . Исходные данные, включающие также объем каждой единицы продукции , приведены в табл. 8.16.
На первом этапе определим параметры однономенклатурных отправок и проверим ограничения на объем кузова. Результаты расчетов показывают, что если для второго вида продукции использование данного типа автомобиля является спорным, то для третьего вида необходимо откорректировать параметры поставки.
Подстановка в формулы данных табл. 8.16 позволяет получить периодичность поставки с учетом ограничения, число поставок, размер поставки, суммарные затраты:

На втором этапе рассчитываются параметры многономенклатурной поставки:
На третьем этапе проверим ограничение по объему кузова. Из сравнения с допустимым значением следует, что параметры многoноменклатурной поставки должны быть откорректированы.
Рассчитаем по формуле (8.44):
Таким образом, даже с учетом ограничений, затраты при многономенклатурных поставках значительно ниже, чем при независимых поставках.

Многономенклатурные поставки по системе кратных периодов.
В 1966 г. профессором Ю. И. Рыжиковым была предложена стратегия организации поставок, суть которой сводилась к объединению преимуществ, свойственных независимым поставкам с оптимальными периодичностями и многономенклатурными поставками с периодичностью Т. Для этого вводится система кратных периодов, когда по крайней мере одна номенклатура заказывается в каждом базисном периоде Т, а остальные позиции номенклатуры поставляются с периодичностями kT (k = 1,2,3).
Оптимальный период группирования определяется по формуле
Данному периоду соответствуют минимальные затраты:

Не вдаваясь в подробности разработанного алгоритма поиска конфигурации группировок позиций номенклатуры, укажем несколько его этапов.
1. Позиции номенклатуры ранжируются по возрастанию величин показателей . Нетрудно заметить, что ранжирование производится фактически с учетом периодичности независимой поставки каждой позиции номенклатуры .
2. Выбирается начальное приближение для кратного периода; за основу принимается первое значение ранжированного ряда:
3. Рассчитывается набор коэффициентов с помощью которых производится формирование базового варианта групп различной кратности.
4. Каждая позиция номенклатуры закрепляется за определенной группой.

По формулам (8.48) и (8.49) для базового варианта рассчитываются показатели и затем с использованием итерационной процедуры (путем перебора и размещения позиций номенклатуры в группах различной кратности) осуществляется поиск оптимального варианта по критерию минимума суммарных затрат .
Присоединение к первой группе следующих позиций номенклатуры целесообразно при соблюдении неравенства:
Тогда условие прекращения накопления группы записывается в виде
Проверка рекуррентного соотношения начинается со второй позиции номенклатуры, при этом в правой части подставляются значения
При выполнении условия (8.54) для всех последующих позиций i > j вычисляется оптимальная периодичность и по отношению - начальная кратность.

Пример 8.10. В табл. 8.18 приведены данные о двух видах продукции. Попытаемся ответить на вопрос о целесообразности применения стратегии кратных периодов.
1.
Поскольку , то объединение в 1 поставку целесообразно.
2.
Следовательно, при организации кратных поставок суммарные затраты меньше затрат с независимой, а также совместной (одновременной) поставкой, т. е.
3.
Поскольку минимум суммарных затрат наблюдается при k = 2, можно выбрать следующую стратегию кратных поставок: через каждые 38 дн. поставляется первый вид продукции; второй вид продукции - совместно с первым, через 76 дн.

Пример 8.11. В табл. 8.20 приведены исходные данные о четырех видах продукции. Требуется выбрать наилучшую стратегию поставок.
Допустим, что предварительно были рассчитаны параметры независимых поставок каждого вида продукции и приведено их ранжирование.
Определим коэффициенты кратности относительно начального приближения = 37,7 дн. На основании выберем базовый вариант кратности поставок:
· первый и второй вид продукции - k = 1;
. третий вид - k = 2;
. четвертый вид - k = 4.
Рассчитаем составляющие формул (8.49), (8.50) для базового варианта кратных периодов:
- оптимальный период.
- минимум суммарных затрат.
Учитывая, что при одновременной поставке 4 видов продукции суммарные затраты (при Т = 37,4 дн.), следует выбрать стратегию кратных периодов, позволяющих снизить суммарные затраты до 726 у. е.

8.4. Многопродуктовые заказы
Ранее считалось, что каждый вид продукции не зависит от остальных и он хранится на складе самостоятельно. Однако для промышленных предприятий, а также предприятий розничной и оптовой торговли условия независимости видов продукции друг от друга могут быть нарушены. Основными причинами возникновения взаимосвязи между N видами продукции, поставляемой на склад, являются следующие ограничения:
· максимальный размер капитала В, который предполагается вложить в запасы;
. площадь (объем) склада, где размещаются одновременно N видов продукции;
. верхний предел общего числа заказов за определенный период и др.
Помимо указанных одиночных ограничений могут возникнуть ситуации, когда требуется соблюдение нескольких из них или всех одновременно.
Рассмотрим задачу, учитывающую ограничения на максимальный размер капитала, подробнее.

На первом этапе рассчитываются оптимальные партии поставок ;
по каждому i-му виду продукции (i = 1,... N) по формуле (8.4).
На втором этапе сравниваются затраты, связанные с запасами продукции и капиталом В, выделенным на приобретение продукции:
где k - коэффициент, введенный для учета неодновременности поступления i-x видов продукции; . (часто принято k = 0,5).
Если неравенство (8.55) соблюдается, то поставки осуществляются в объемах, рассчитанных по формуле (8.4). Соответственно переменные затраты на выполнение заказа и хранение при многопродуктовой поставке определяются по формуле:
rде - доля от цены , приходящейся на затраты по хранению (аналогична i в формуле (8.4)).
Третий этап, когда неравенство (8.54) не соблюдается. Для расчета оптимальных значений применяется метод множителей Лагранжа. Исходное уравнение - функция Лагранжа - записывается в виде
где i - индекс, указывающий вид продукции, i = 1, ... N; z - неопределенный множитель Лагранжа, .

Оптимальные значения определяются из решения системы, включающей N уравнений типа и уравнения . Доказано, что данная система имеет N решений вида
где - такое значение множителя z, при котором удовлетворяется равенство (8.55).
D – рассматриваемый период. Для расчета минимальных переменных затрат выведена формула
и скорректирована:
или
Таким образом, суммарные затраты, включающие затраты на приобретение запасов В, затраты на выполнение заказов и хранение запасов, будут равны

Для определения множителя Лагранжа z в литературе рассмотрены три варианта.
Первый, наиболее распространенный, базируется на численном методе решения.
Второй вариант рекомендует в качестве первого приближения z эмпирическую зависимость.
Третий вариант, предложенный Ю. И. Рыжиковым, записывается в виде:
Таким образом, последовательность определения параметров многопродуктовых поставок сводится к следующему:
- выбираем вариант расчета множителя Лагранжа z;
- рассчитываем величины поставок каждого вида продукции , формула (8.58), и минимальных переменных издержек , формула (8.62а) или (8.626);
- определяем количество поставок , формула (8.59), и их периодичность , формула (8.60), для каждого вида продукции.

Пример 8.12. Рассчитаем параметры многопродуктовой поставки при наличии ограничений на капитал. При расчетах принято
Суммарные затраты на приобретение оптимальных партий поставок:
превышает В = 3600 у. е., т. е. неравенство (8.55) не соблюдается.
Воспользуемся ЧМ определения множителя z, последовательно рассчитывая оптимальные величины по формуле (8.58) и суммируя затраты на закупку. Так, при z = -0,2 находим:
Результаты расчетов приведены в табл. 8.22, из которой видно, что множитель Лагранжа может быть принят

По формуле (8.64). При подстановке данных табл. 8.21:
Результаты расчетов многопродуктовых поставок при различных В и k приведены на рис. 8.14 и 8.15.

Из анализа полученных зависимостей следует:
общие затраты имеют минимум, положение которого меняется в зависимости от разных факторов, и в частности от величины коэффициента неодновременности поступления различных видов продукции k;
при расчете переменных затрат по формулам (8.61) и (8.62) наблюдается значительное расхождение результатов, поэтому для практических расчетов следует использовать формулы (8.62).
Алгоритм принятия решения по многопродуктовым поставкам при ограничениях на капитал представлен на рис. 8.16.

Из рис. 8.16 следует, что алгоритм включает три варианта решения многопродуктовых задач.
Первый вариант - отсутствие ограничений; для определения оптимальных параметров многопродуктовых поставок используется формула Уилсона.
Второй вариант предусматривает наличие одного ограничения на капитал, которое может быть задано в виде неравенства, формулы (8.54), либо в виде различных величин ограничений на капитал, необходимых для нахождения минимального размера общих затрат.
Третий вариант предусматривает наличие нескольких ограничений; в этом случае при принятии решения по многопродуктовым поставкам необходимо использовать методы многокритериальной оптимизации.
Очевидно, что, несмотря на четкость описанной последовательности вычислений, представляет интерес поиск аналитических зависимостей, позволяющих производить расчеты в «замкнутой» форме и, следовательно, анализировать всевозможные варианты многопродуктовой задачи. Продолжим вычисления.

Во-первых, при подстановке , формула (8.64), в уравнение (8.58) для величин партий поставки с учетом ограничений после упрощений находим
Во-вторых, выполнив аналогичные преобразования, получим aнaлитическое решение для переменных затрат, включающих затраты на выполнение заказов и хранение продукции:
- Затраты на выполнение заказа.
- Затраты на хранение.
В-третьих, определим общие затраты
Отсюда оптимальное значение капитала вложенного в запасы:
При подстановке в формулу (8.68) находим оптимальную величину общих затрат:

Можно сделать следующие выводы:
- Оптимизация общих затрат приводит к их абсолютному уменьшению по сравнению с первоначальным вариантом (отсутствие ограничений на капиталовложения в запасы). В то же время наблюдается существенный рост переменных затрат, тенденции изменения которых имеют противоположный характер: затраты, связанные с выполнением заказов, существенно возрастают из-за уменьшения величин партии поставок и роста их количества.
- Полученные аналитические зависимости позволяют в «замкнутой форме» приводить оценку влияния различных показателей, связанных с многопродуктовыми поставками,на составляющие общих затрат - капиталовложения в запасы,затраты на поставку и затраты на хранение продукции.
- Наличие оптимальной величины общих затрат является областью принятия стратегических компромиссных решений различных служб предприятия, отвечающих за закупку, транспортировку и хранение продукции.
- Дальнейшее развитие методов решения многономенклатурных и многопродуктовых задач требует активного привлечения финансовой логистики, т. е. аналитическогo инструментария исследования динамики финансовых потоков.

8.5. Перспективы развития модели EOQ
Модель EOQ занимает центральное место в теоретической логистике. Рассмотрим 2 примера. В работе [16] приведены данные о поставках металлопродукции железнодорожным транспортом и получена формула для определения оптимальной величины заказа:
(8.73),
где b-масштабный коэффициент (принят b=1); - тариф за поставку одной транзитной или складной нормы, руб/вагон; А – суммарный спрос за рассматриваемый период (тонн в год);
- стоимость хранения 1т проката запаса, руб/т.
Соrласно [16], входящая в формулу (8.72) норма производственного запаса включает:
Где
Исходные данные для расчета по формуле (8.73): А = 32 тыс. т в год; = 2730 руб./вагон; = 50 руб./т в год; = 2040 т. Помимо этого, указано, что стоимость одной тонны металла = 2900 руб. При подстановке находим:

При загрузке одного вагона получим количество вагонов при поставке :
На первый взгляд, формула (8.73) не вызывает особых возражений, за исключением производственного запаса , составную часть которого, а именно Р –текущий запас, и требуется определить. Запишем выражение для общих затрат (8.75)
Решим уравнение d 0
=0 (8.76)
Отсюда (8.77) – это формула Уилсона. При подстановке исходных данных получим:
=1869т или n=31 вагон.

С одной стороны величина значительно превосходит , но с другой стороны, формула (8.77) не содержит противоречивого производственного запаса , включающего текущий запас.
Рассмотрим последовательность вывода формулы (8.73).
=аР, и далее считается, что а является постоянной величиной. Это позволяет записать уравнения для общих затрат в виде:
(8.79).
После дифференцирования получим
+а =0. (8.80)

Следующий шаг вызывает недоумение, так как в уравнение (8.80) подставляется значение а= , формула (8.78), и после упрощений приходим к формуле (8.73). Ошибка состоит в том, что а не является постоянной величиной, поскольку при вынесении за скобку Р в правой части формулы (8.74) получим:
Таким образом а - переменная величина, зависящая от текущего запаса, поэтому операция дифференцирования должна выполнятся для функции :
Что приводит к формуле (8.77).
Однако выявленная неточность не является главной, поскольку полученный по формуле (8.83) результат некорректен. Как только величина превысит массу одного вагона, необходимо заказывать дополнительный подвижной состав. Но в этом случае затраты возрастут, т.е. при двух вагонах они составят 5460 руб, по формуле(8.77):
или n=44 вагона и так далее. Очевидно, что в данной постановке задача не имеет оптимального решения с точки зрения минимизации затрат на выполнение заказа и хранение продукции. Таким образом несоблюдение ограничений приводит к ошибочным расчетам величины EOQ.

Рассмотрим модификации формулы Уилсона – модель с постепенным пополнением запаса и равномерным потреблением (EPQ). Отличие данной модели заключается в том, что разгрузка и пополнение запаса происходит не мгновенно, а постепенно, с интенсивностью µ=S/τ, где S – оптимальный размер заказа, τ – период разгрузки.
При формировании таблицы 8.26 были введены следующие обозначения:
Оптимальная партия заказа:
,
α= ; - поправочный коэффициент для модели EPQ.
β= (8.85) – для откорректированной
модели EPQ

Для иллюстрации полученных зависимостей в табл. 8.27 приведены результаты расчетов для известных и откорректированных мoделей при двух условиях
( и ) и следующих исходных данных:
*потребность в заказываемом продукте А = 1000 ед. в год;
*затраты на выполнение одного заказа = 100 руб.;
*затраты на хранение единицы продукции (на складе) = 20 руб./ед. год;
* количество рабочих дней в год D = 250 дней;
* интенсивность пополнения запасов на склад = 25 ед. /дн.;
*интенсивность расхода запаса со склада = 4 ед./дн.
Затраты на хранение доставленной продукции вне склада принимались равными 40 руб./ед., год и 10 руб./ед., год, т. е. отношения α = были взяты равными 2 и 0,5.

Из анализа табл. 8.27 можно сделать следующие выводы:
1. Введение затрат на хранение (при постепенной разгрузке транспортных средств) позволяет восстановить экономический смысл модели EPQ.
2. Откорректированная модель является универсальной, так как
включает частные случаи в традиционную модель EPQ (при ) и модель Уилсона EOQ (при и т.е. мгновенное пополнение запаса).
3. Проведенные расчеты показали, что помимо модели EPQ корректировке подлежат другие модификации формулы Уилсона в частности:
* модель экономического размера партии (EBQ) постепенного пополнения запаса (без расхода) и последующего равномерного расхода;
*обобщенная детерминированная модель с учетом потерь от дефицита и постепенным (не мгновенным) пополнением запаса, находящегося в контейнерах, кузовах автомобилей или железнодорожных вагонах во время их постепенной разгрузки.