10

План
Математические понятия (сведения из логики)
Сущность математических понятий;
Логические характеристики понятий:содержание. Объем;
Пути конструирования понятий;
Классификация понятий
Определения математических понятий
Способы определения, структура определения;
Виды определений
Требования к корректности определений
Методики изучения понятий и схемы их применения
Методы формирования понятий;
Организация усвоения понятий (этапы формирования);
Основные приемы действий с понятиями;
Система упражнений, направленная на формирование понятия.

Сущность математических понятий
Понятие – форма мышления, отражающая общие и существенные свойства и отношения вещей и явлений материального мира.
Математическое понятие – отражение в мышлении отличительных свойств форм и количественных отношений действительного мира.
В познании понятия выражаются с помощью признаков посредством речи и символов

Признаки понятия
Признак – все то, с помощью чего объекты можно распознать, описать, в чем объекты могут быть сходными или различными
признаки
существенные
несущественные
Существенные признаки - каждый из которых необходим, все вместе они достаточны, чтобы отделить данное понятие от других

Образование понятия
Выделение с помощью анализа признаков объекта
Соединение с помощью синтеза существенных признаков объекта
Отбрасывание с помощью абстрагирования несущественных признаков
Образование с помощью обобщения единого целого, являющегося понятием

Логические характеристики понятия
Содержание понятия- совокупность всех существенных признаков объектов, охватываемых данным понятием.
Объем понятия – совокупность всех объектов, на которое распространяется это понятие, к которым оно может быть применено.
Содержание и объем понятия жестко связаны между собой: изменение содержания влечет изменение объема и наоборот

Закон обратного отношения
Чем уже объем понятия, тем шире его содержание;
Чем шире объем понятия, тем уже его содержание.

Родо - видовое отношение между понятиями
Если объем одного понятия входит в объем другого понятия, то
понятие с меньшим объемом называется «видовым»,
понятие с большим объемом называется «родовым».
Если в понятие входит только один элемент, оно называется «единичным»

Виды понятий
(по соотношению объемов)
Сравнимыми называются понятия, если можно указать общий для них универсум (множество объектов, в терминах которого определяются понятия);
Совместными называются понятия, объемы которых имеют общие элементы
Равнозначными называются понятия, объемы которых полностью совпадают.
Пересекающимися называются понятия, объемы которых частично совпадают.
Находящимися в отношении включения называются понятия, если объем одного входит в объем другого.

Характеристики признаков понятия
Пусть понятие А включает класс объектов Х
Признак а называется необходимым или основным признаком понятия А, если признаком а обладает любой объект из Х.
Признак а называется отделимым признаком понятия А, если признаком а обладают только некоторые объекты из Х.
Признак а называется противоречивым признаком понятия А, если признаком а не обладает ни один объект из Х.

Конструирование новых понятий
Осуществляется с помощью трех логических операций:
Обобщения,
Ограничения,
классификации

Обобщение понятий
Обобщение понятия – логическая операция конструирования нового понятия с большим объемом, чем данное (т.е. переход от видового к родовому понятию).
Обобщение понятий происходит путем отбрасывания из содержания понятия основных признаков понятия до тех пор, пока не получится предельно широкое понятие, называемое категорией (время, пространство, форма, количество, отношение), или к неопределяемому понятию, описываемому через категории.

Ограничение понятий
Ограничением понятий- логическая операция конструирования нового понятия с меньшим объемом, чем данное (т.е. переход от родового к видовому понятию).
Ограничение понятия происходит добавлением к содержанию понятия отделяемого признака до тех пор, пока не получим единичное понятие, не имеющее отделяемого признака.

Классификация понятий
Классификация понятий- последовательное многоступенчатое разделение множества объектов на классы с помощью некоторого свойства (или свойств)
Классификации считается правильной, если:
Признак, по которому проводится классификация остается неизменным в процессе классификации;
Понятия, получаемые в классификации, - взаимонезависимые;
Сумма объемов понятий, получаемых при классификации, равна объему исходного понятия;
В процессе классификации осуществляется переход к ближайшему в родовом понятии виду.

Виды классификаций
Дихотомическая ( трихотомическая), где осуществляется многоступенчатое разбиение на два (три) противоречащих понятия;
Иерархическая, где каждый член является соподчиненным понятием;
Последовательная, где классификация проводится по нескольким основаниям.
При помощи классификации на основе сходства и различий объектов раскрывается объем понятия.

Определение понятия
Трактовки термина «определение понятия»:
Логическая операция, при помощи которой раскрывается содержание нового понятия через перечисление его существенных признаков;
Математическое предложение, в котором раскрывается содержание понятия через перечисление совокупности условий, необходимых, и достаточных для отделения класса объектов, принадлежащих какому-либо понятию, и вводится термин, обозначающий выделенный класс.

Что значит определить понятие?
С точки зрения логической операции – это значит свести его к уже известным понятиям и тем самым раскрыть его содержание.
В результате этой операции и появляется математическое предложение, именуемое как определение понятия.

Типы определения понятия
Определения
Вербальные
Явные
Неявные
Аксиоматические
(косвенные)
Описательные
Невербальные
(остенсивные)

Остенсивное определение – описание объекта с помощью модели через показ, демонстрацию.
Вербальное определение – описание объекта словами
Явное определение – прямое указание на существенные признаки понятия. Определяемое и определяющее понятия выражены четко и однозначно.
Неявное определение - не содержит четкого и однозначного определяющего элемента, содержание определяемого понятия устанавливается через контекст (описание)

Структура определений понятия
Конъюнктивная структура – в определении все признаки связаны союзом «и»;
Дизъюнктивная структура – в определении признаки связаны союзом «или»;
Импликативная структура – в определении признаки связаны отношением следования (в терминах «если …, то…»)

Виды определений
(в зависимости от определяемого объекта)
Номинальные определения – вводятся новые символы, термины, выражения или уточняется смысл ранее введенных объектов.
Реальные определения – фиксируются свойства новых определяемых объектов

Виды определений
(в зависимости от способа выделения видовых отличий)
Характеристические определения, в которых указывается ближайший род и перечисляются видовые отличия понятия
Генетические (конструктивные) определения, в которых описывается или указывается способ происхождения или образования понятия
Рекурсивные (индуктивные) определения, в которых указываются исходные (базисные) объекты некоторого множества и правила, позволяющие получать другие объекты этого же множества
Условные определения, в которых вводится некоторое соглашение, суть договоренность

Формально-логические требования корректности определений
Признаков должно быть достаточно, чтобы отделять данное понятие от других;
Количество признаков должно быть минимальным для отделения данного понятия;
Признаки должны быть независимыми.

Логико – математический анализ определения понятия
Определение способа получения нового понятия;
Определение типа и вида определения;
Определение структуры определения;
Раскрытие математического содержания каждого элемента определения (термин, род, видовые отличия);
Определение корректности определения

Квадрат – это прямоугольник,
у которого все стороны равны
Конструируется с помощью ограничения: к свойствам прямоугольника добавляется отделимый признак равенства всех сторон;
Определение явное и реальное: с помощью слов фиксируются свойства квадрата;
Структура конъюнктивная: признаки соединены союзом «и»;
Ближайший род – прямоугольник;
Видовые отличия задаются перечислением: все стороны равны;
Определение не вполне корректное: избыточное

Формирование понятия –
длительный процесс
Начальные этапы работы с понятием
Профессиональный – выполнение логико-математического анализа, выбор методов работы, отбор содержания;
Подготовительный – актуализация необходимых знаний учащихся, установление связей с субъектным опытом ребенка, мотивация;
Введение понятия и его определения - организация знакомства и первичное усвоение понятия и его определения учащимися.

Введение понятия и его определения
Подходы
к введению понятия
Конкретно- индуктивный
метод
Движение мысли
от частного к общему
Абстрактно – дедуктивный
метод
Движение мысли
от общего к частному

Схема применения конкретно- индуктивного метода
Анализируется эмпирический материал, при этом привлекаются такие мыслительные операции как сравнение, классификация, абстрагирование.
Через обобщение выделяются признаки, характеризующие новое понятие;
На основе синтеза конструируется формулировка определения, вводится термин, обозначающий понятие;
Рассматриваются примеры и контрпримеры;
Понятие и его определение усваивается в процессе его дальнейшего применения

Схема применения абстрактно-дедуктивного метода
Формулируется принятое в науке (или учебнике) определение нового понятия;
Через рассмотрение частных примеров и контрпримеров осуществляется конкретизация определения;
Понятие и его определение усваиваются в процессе дальнейшего применения.

Усвоение понятия
Методы
организации
усвоения
Раздельный
метод
Компактный
метод
Алгоритмический
метод

Раздельный метод – сначала происходит запоминание формулировки определения. А затем формируется навык ее применения
Компактный метод – запоминание формулировки происходит одновременно с приобретением навыка по ее применению
Алгоритмический метод – запоминание и формирование навыка происходят в процессе выполнения предписаний алгоритма.

Этапы организации усвоения понятия
(в соответствии с концепцией обогащающей модели обучения М.А. Холодной)
Мотивировка - создание условий для осознания учащимися недостаточности их прошлого математического опыта.
Категоризация – введение знаково-символического обозначения нового понятия, ориентация ребенка на выделение отличительных признаков соответствующего понятия.
Обогащение – накопление и дифференциация опыта оперирования вводимым понятием, расширение возможных ракурсов осмысления его содержания.
Перенос –применение усваиваемого понятия в разных ситуациях, в том числе и в условиях самостоятельного выстраивания отдельных аспектов его содержания.
Свертывание – представление образа понятия в сжатой форме.

Организация обучения учащихся работе с понятиями
( в соответствии с теорией поэтапного формирования умственных действий П.Я. Гальперина )
Формирование мотивации введения нового понятия;
Представление основного содержания подлежащего усвоению понятия в краткой схематической форме, т.е. создание ООД;
Организация работы учащихся с понятиями, позволяющей контролировать и ее ход, и ее результат;
Организация постепенного перехода от пошагового контроля к самоконтролю

Основные приемы действий с определениями понятий
Подведение объекта под понятие – распознавание объектов, принадлежащих объему данного понятия, установление факта возможности называть объект связанным с понятием термином
Выведение следствий из определения понятия – наделение конкретного объекта, именуемого термином, связанным с понятием, всеми характеристическими свойствами понятия, выделенными в определении

Система упражнений, направленная на формирование понятий
Задачи и упражнения – основное средство формирования понятий.
Системообразущий фактор
Этапы
формирования понятия
(система Г.И. Саранцева)
Структура понятийной познавательной деятельности
(система М.А. Холодной)

Система задач Г.И. Саранцева
На мотивацию (практического характера);
На построение объектов, удовлетворяющих выделенным свойствам;
На распознавание объектов, принадлежащих объему понятия;
На выделение следствий из определения понятия;
На дополнение условий (для распознавания и выведения следствий)на составление родословной понятия;
На применение понятий в разных ситуациях;
На систематизацию понятий.

Система задач М.А. Холодной
На формирования способности к словесно-образному переводу разной степени общности;
На выделение признаков усвояемого понятия;
На включение изучаемого понятия в систему связей с другими понятиями;
На развитие мыслительных операций. лежащих в основе образования понятия;
На подключение предметного опыта учащихся