Анализ игры “Судоку”

История судоку
Прообразом судоку -“Магический квадрат”, появился в Китае 2000 лет назад.
Квадрат размером 3х3 клетки. В каждую клетку число от 1 до 9. Сумма чисел в любом столбце, строке и по диагонали равнялась 15.
Леонард Эйлер(1707-1783). Магические квадраты для 9, 16, 25 и 36 ячеек.
1979г. Word Games magazine. Гарвард Гаррис.
Su – число, duko – единственное.
12 ноября 2004г. The Times.

Правила и цель игры
Квадрат 9х9. Цифры от 1 до 9. В строке столбце и малом квадрате 3х3 цифры не повторяются.

Правила и цель игры
Несколько уровней сложности(сложность зависит не только от количества заполненных клеток, а и от положения).
Разные по размеру(4х4, 9х9,16х16 и так далее. В журналах встречаются нестандартного размера, пр. 9х12).
Приёмы решения одинаковы(не зависят от размера и сложности, так что один и тот же алгоритм подойдёт как для 9х9, так и для 16х16).

Способы решения судоку
Как задачи CSP
Множество переменных, Х1,Х2,…,Хn и множеством ограничений, C1,C2,…,Cm. Каждая Xi имеет непустую область определения Di (числа от 1 до 9) возможных значений.
Каждое Ci включает некоторое подмножество переменных и задаёт допустимые комбинации значений для этого подмножества. Состояние задачи - присваивание значений некоторым переменным.
Присваивание, которое не нарушает никаких ограничений, называется совместимым, или допустимым присваиванием.
Полным называется такое присваивание, в котором учавствует каждая переменная, а решением CSP задачи является полное присваивание, которое удовлетворяет всем ограничениям.

Способы решения судоку
Любой задаче CSP может быть дана инкрементная формулировка, как и любой стандартной задаче поиска:
Начальное состояние. Изначально в некоторых клетках вписаны числа, то есть переменные, соответствующие этим клеткам, инициализированы некоторыми значениями, не нарушающими ограничения.
Функция определения преемника. Значение может быть присвоено любой переменной с неприсвоенным значением, при условии, что переменная не будет конфликтовать с другими переменными, значения которым были присвоены ранее.
Проверка цели. Проверка того, что текущее присваивание является полным, то есть заполнены все 81 клетки и не нарушается ни одно из ограничений.

Способы решения судоку
Методы решения таких задач:
Поиск в ширину (n!*dn ветвей дерева)
Поиск в глубину
Поиск в глубину может быть усовершенствован:
Эвристики(Minimum Remaining Values - MRV)
Предварительная проверка(распространение ограничений)
Хронологический поиск с возвратами(при неудаче возврат к предыдущей переменной, либо к переменной из конфликтного множества. Его определяет предварительная проверка)

Приёмы решения судоку
Приёмы, упрощающие дерево поиска
Одиночки
Скрытые одиночки
Запертый кандидат
Открытые пары(тройки, четвёрки)
Скрытые пары(тройки, четвёрки)
X-wing
Одиночки. Метод заключается в отыскании в таблице одиночек, т.е. ячеек, в которых возможна только одна цифра и никакая другая. Вписываем её и исключаем её из других клеток этой строки, таблицы и блока.

Приёмы решения судоку
Скрытые одиночки. 4 в зелёном блоке только в одной клетке.

Приёмы решения судоку
Запертый кандидат. В пределах блока цифра только в одной строке. Из других блоков исключаем.

Приёмы решения судоку
Открытые пары. Если две ячейки в группе (строке, столбце, блоке) содержат идентичную пару кандидатов и ничего более, то никакие другие ячейки этой группы не могут иметь значения этой пары.

Приёмы решения судоку
Скрытые пары. Если в двух ячейках в группе (строке, столбце, блоке) содержат кандидаты, среди которых идентичная пара, не встречающаяся ни в одной другой ячейке данного блока, то никакие другие ячейки этой группы не могут иметь значения этой пары.

Приёмы решения судоку
X-wing. Если значение имеет только два возможных местоположения в какой-то строке (столбце), то оно обязательно должно быть назначено в одну из этих ячеек. Если же существует еще одна строка (столбец), где этот же кандидат также может быть только в двух ячейках и столбцы (строки) этих ячеек совпадают, то ни одна другая ячейка этих столбцов (строк) не может содержать данную цифру.

X-wing

Реализация программы
Среда разработки – Delphi 7.
3 режима :
Решение вводимого судоку программой
Решение судоку, сгенерированного программой, пользователем
Генерация судоку, определённого уровня сложности
Работает с судоку общего вида, однако тестировалась в основном для 9х9.

Реализация программы
Решение вводимого судоку программой.
Программа генерирует пустой квадрат с количеством ячеек, определяемым пользователем.
Пользователь может кликнуть на любую из ячеек и вписать туда цифру, нажатием соответствующей клавиши на клавиатуре.
После введения некоторого количества чисел, пользователь может кликнуть по кнопке “Решить” и программа предоставит ему возможный вариант решения, либо сообщит о том, решение данного судоку не существует.

Реализация программы
Введеный судоку программа решает с помощью
Простой перебор с возвратами с эвристикой типа MRV (то есть вначале заполняются такие клетки, в которые можно подставить наименьшее количество цифр)
Второй алгоритм представляет собой тот же поиск с возвратами, однако в нём программа пытается найти ситуации, описанные ранее в “приёмах решения судоку”.
Программа выдаёт количество присваиваний, которое сделала в процессе решения, таким образом предоставляя возможность сравнить эффективность второго алгоритма, по сравнению с первым.
Так же программа может выдавать количество возможных решений введённого судоку.

Реализация программы
Решение судоку, сгенерированного программой, пользователем.
После выбора уровня сложности и количества ячеек, программа создаёт квадрат N x N, некоторые числа которого заполнены цифрами.
Пользователь, кликая по ячейкам и нажимая на цифры на клавиатуре, заполняет данный квадрат до того момента, пока остаются пустые клетки.
В случае введения ошибочной цифры, пользователь может выбрать эту же клетку и поставить в неё другую цифру.

Реализация программы
Режим контроля ввода. При включении этой опции, программа будет выдавать ошибку в случаях, когда введённая пользователем цифра недопустима из-за того, что по горизонтали, вертикали или в блоке 3х3 такая цифра уже имеется.
Режим подсказок. В случаях, когда пользователь затрудняется в выборе того, какую цифру и в какую клетку поставить, он может включить режим подсказок. В этом режиме, программа будет выдавать для каждой клетки перечень цифр, которые возможно поставить в эту клетку, без нарушения правил игры.

Реализация программы
Генерация судоку выбранного уровня сложности.
Модификация готового судоку.
Генерация ответа с последующим вычёркиванием некоторых цифр с проверкой единственности решения на каждом этапе.
Заполнение пустого квадрата цифрами, с проверкой существования и единственности решения.

Итоги и цели
Генерация судоку выбранного уровня сложности
Тестирование работы алгоритмов решения для судоку произвольного размера
Поиск новых приёмов решения судоку
Задача судоку, имеющего единственное решение при минимальном количестве цифр.
http://units.maths.uwa.edu.au/~gordon/sudokumin.php