Белорусский государственный университет Факультет прикладной математики и информатики Кафедра методов оптимального управления

Поставленные цели и задачи
Изучить структуру опоры для задачи в классе ИУВ-1
Построить опору для задачи в классе ИУВ-2
Сформулировать критерий оптимального управления и критерий оптимальности опоры для ИУВ-2
Построить программное и позиционное решение для задач в классах ИУВ-1 и ИУВ-2
Оценить влияние внешних воздействий на систему
Написать программную реализацию ОУ и оптимальной обратной связи

Поставленные цели и задачи
Реализовать моделирование режима реального времени
Провести сравнительный анализ программного и позиционного управления
Оценить влияние задержки вычисления на реализацию оптимальной обратной связи
Проиллюстрировать результаты на примерах

Объект исследования. Методы исследования. Область применения
Объект исследования – задачи в классах инерционных управляющих воздействий
Методы исследования – методы оптимизации, двойственный метод, сведение задач к функциональной форме.
Область применения – производственные задачи, использующие регуляторы.

Актуальность
Возможность построения реализации оптимальной обратной связи позволит управлять системой в режиме реального времени, корректировать это управление в ходе его построения, а также учитывать влияние внешних возмущений на объект управления

Инерционные управляющие воздействия первого порядка.
Постановка задачи
Пусть ­ промежуток управления. Скалярную функцию u(t), назовем инерционным управляющим воздействием первого порядка, если она является решением уравнения
(1)
с ограниченной кусочно­непрерывной функцией v(t), .
(2)
где — n-вектор состояния динамической системы в момент времени t;
u = u(t) — значение скалярного управляющего воздействия;
A(t), b(t), — кусочно­непрерывные матричная и n­векторная функции,
H – матрица терминальных ограничений, g – m-вектор, rank H = m

Задача с фазовыми ограничениями
Если ввести дополнительную фазовую переменную , то задачу (2) можно трактовать как задачу с фазовым ограничением
(3)
где

Эквивалентная функциональная форма
Задача (2) эквивалентна следующей задаче линейного программирования (ЛП)
(4)
элементы которой вычисляются с помощью динамического двойственного метода.
Габасов Р., Кириллова Ф.М., Павленок Н.С. Синтез оптимальных обратных связей в классе инерционных управлений. // Автоматика и телемеханика. – 2003. – №2. – С. 22 - 49

Программное решение в классе инерционных управляющих воздействий первого порядка
Рассмотрим терминальную задачу управления
(5)

Позиционное решение
Для того, чтобы ввести понятие позиционного решения, рассматриваемую в классе инерционных управлений терминальную задачу (2) погрузим в семейство задач
(6)
Пусть
(7)
оптимальный программный управляющий сигнал задачи (6) для позиции
, - множество всех состояний (y, z), для которых задача (6) имеет решение.

Оптимальная обратная связь
Функцию
(8)
назовем оптимальным управляющим сигналом типа (дискретной) обратной связи в задаче (6).
Подход, используемый в работе для решения проблем оптимального синтеза основан на построении по ходу каждого конкретного процесса управления реализации оптимальной обратной связи
(9)
где , – траектория системы
(10)
описывающей поведение физического прототипа математической модели (2).
, – возмущение,
– реализовавшиеся начальные состояния.

Позиционное решение в классе инерционных управляющих воздействий первого порядка
На примере задачи управления (5) покажем вид позиционного решения в предположении, что реализующееся в процессе управления возмущение имеет вид
(11)

Моделирование режима реального времени
На примере задачи в классе инерционных управлений первого порядка
(12)
проиллюстрируем влияние задержки вычисления на оптимальное
воздействие и оптимальный сигнал.

Моделирование режима реального времени.
Если вычисления будут происходить с задержкой значение критерия качества уменьшится на величину равную 0.098.

Моделирование режима реального времени.
Если вычисления будут происходить с задержкой значение критерия качества уменьшится на величину равную 0.228.

Инерционные управляющие воздействия второго порядка.
Постановка задачи
Пусть ­ промежуток управления. Скалярную функцию u(t), назовем инерционным управляющим воздействием второго порядка, если она является решением дифференциального уравнения
(13)
с ограниченной кусочно­непрерывной функцией v(t), .
(14)

Задача с фазовыми ограничениями
Если ввести дополнительные фазовые переменные , то задачу (14) можно трактовать как задачу с фазовым ограничением
(15)
где

Эквивалентная функциональная форма
Задача (14) эквивалентна следующей задаче линейного программирования (ЛП)
(16)
элементы которой вычисляются с помощью динамического двойственного метода.

Программное решение в классе инерционных управляющих воздействий второго порядка
Рассмотрим терминальную задачу управления
(17)

Позиционное решение в классе инерционных управляющих воздействий второго порядка
В классе инерционных управляющих воздействий второго порядка рассмотрим задачу
(18)
Был выбран период квантования равный 0.2.
Реализация оптимальной обратной связи построена в предположении, что
в процессе управление реализовалось возмущение вида:
(19)

Позиционное решение в классе инерционных управляющих воздействий второго порядка
Значение критерия качества для программного решения равно 2.15,
для позиционного решения - 1.992

Заключение
В данной работе исследованы терминальные задачи ОУ в классе инерционных управлений первого и второго порядков с учетом геометрических ограничений на управляющий сигнал, управляющее воздействие и его первую производную.
Описана структура опоры, приведены сопровождающие элементы, сформулированы принцип максимума и принцип -максимума, критерий оптимальности опоры.
Построено программное решение, получена реализация оптимальной обратной связи.
Приведены графики, отображающие вид программного и позиционного решений в классах инерционных управлений первого и второго порядков, а также фазовые траектории системы.
Демонстрируется влияние величины задержки вычисления на значение достигаемого критерия качества.

Опуликованность результатов
Тезисы совместного с Н.С. Павленок доклада опубликованы в сборнике конференции «Еругинские чтения - 2009»
Тезисы доклада, представленного на 66-й научной конференции студентов и аспирантов, приняты к публикации
Посетить сайт магистранта