Доклад на районном МО математиков (март,2010г.)./Слепокурова Л.Г. МОУСОШ№74/.

При сравнении двух действительных чисел X и Y возможны три случая: X = Y (x равно y); x>y (x больше y); x < y ( x меньше y).
Выражение, в котором два числа или две функции соединены знаком
> или < называются неравенствами. Неравенства, содержащие только числа, называются числовыми неравенствами. Если неравенство представляет собой истинное высказывание, то оно называется верным. Знаки >, < называются знаками строгих неравенств. Также используются знаки нестрогих неравенств: ≥, ≤. Неравенства x > y, u > v называются неравенствами одного знака или неравенствами одинакового смысла; неравенства x>y, u

СВОЙСТВА НЕРАВЕНСТВ:
если a > b, то b < a;
если a > b и b > c, то a > c (свойство транзитивности);
если a > b, то a + c > b + c;
если a > b и c > 0, то ac > bc или a/c > b/c;
если a > b и c < 0, то ac< bc или a/c < b/c;
если a > b > 0, то 1/a < 1/b;
если a> b и c > d , то a + c > b + d;
если a > b > 0 и c >d >0, то ac > bd;
если a > b и c < d, то a – c > b ­– d;
если a > b >0 и nєN, то an > bn.
Пример: ( ГИА,2009). О числах a и b известно, что a < b. Какое из следующих неравенств верно при всех значениях переменных a и b?
5 – a < 5 – b;
a + 3 > b + 3;
5a > 5b;
(-1/3)a > (-1/3)b. *
Верным является неравенство 4), которое приводится к неравенству, заданному в условии. Все остальные неравенства приводятся к виду a > b, что противоречит условию.

Пример: (ГИА,2009). Какие из неравенств:
1) х + у < 25,
2) х + у < 30,
3) х + у < 40
верны при любых значениях х и у, удовлетворяющих условию х < 10, у < 20?
1 и 2,
1 и 3,
2 и 3, *
1, 2, 3.
Пример: (ГИА,2009). О числах известно, что х < у < z. Какое из чисел положительно?
у – z,
x – z,
x – y,
z – x. *

Пример: (ГИА,2009). Какое из следующих неравенств не следует из неравенства а – в > с?
а > в + с,
в < а – с,
а – в – с > 0. *
Пример: (ГИА,2009). Сравнить а2 и а3, если известно, что 0 < а < 1.
1) а2 < а3,
2) а2 > а3, *
3) а2 = а3,
4) для сравнения не хватает данных.
Пример: (ГИА,2009). На координатной прямой отмечены числа x и y. Сравните числа -x и -y.
1) -х < -у,
2) -х > -у, *
3) -х = -у,
4) сравнить невозможно.
Пример: (ГИА,2009). Какое из неравкнств:
1) ху > 200,
2) ху > 100,
3) ху > 400
верно при любых значениях х и у , удовлетворяющих условию х > 10, у > 20?
1 и 2, *
1 и 3,
2 и 3,
1, 2, 3.

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.
Используя свойства неравенств, можно преобразовать данное неравенство в равносильное, более простое.
Линейным неравенством с одним неизвестным называется неравенство вида
ax + b > 0 или ax + b < 0, где a и b – действительные числа и a ≠0.

Линейные неравенства с одной переменной.
Если неравенство содержит буквенные выражения, то оно является верным лишь при определённых значениях входящих в него переменных. Например, неравенство x > 0 верно только при положительных значениях x, а неравенство x2 ≥ -1 не будет верным ни при одном значении x.
Решить неравенство – значит указать все значения неизвестных величин, при которых неравенство становится верным, или показать, что таких значений не существует.

Пример №1. Решить неравенство: 16 – 3x > 0. Ответ: ( - ∞; 5⅓].
Неравенство, левая и правая части которого есть многочлены первой степени относительно x, путём равносильных преобразований можно привести к линейному неравенству.
Пример №2. Решить неравенство: 2(x – 3) + 5(1 – x) ≥ 3(2x – 5).
Выполнив равносильные преобразования, получаем 9х ≤ 14.
Ответ: x є (- ∞; 14/9].
Пример №3. Решить неравенство: 9x – 5 > 9x – 6.
Выполнив равносильные преобразования, получим 0x > -1.
Это неравенство справедливо при всех значениях x.
Ответ: ( -∞: +∞).
Пример №4. Решить неравенство: x – ( x + 1) /2 > (x – 3) /4 – ( x – 2) /3.
Умножив обе части неравенства на наименьшее общее кратное всех знаменателей, т.е. на 12, будет 12х – 6х – 6 > 3х – 9 – 4х + 8 и после приведения подобных членов, получим 7x > 5.
Ответ: x є ( 5/7; +∞).

Если требуется найти все значения переменной x, каждое из которых есть решение одновременно нескольких линейных неравенств, то говорят, что надо решить систему линейных неравенств с одним неизвестным x.
Для того, чтобы решить систему линейных неравенств, надо решить каждое неравенство этой системы, а затем найти общую часть
( пересечение) полученных множеств решений – она и будет множеством всех решений данной системы.
Обычно неравенства, входящие в систему, объединяют фигурной скобкой, хотя допустима запись и в виде двойного неравенства.
Решение системы линейных неравенств сводится к осуществлению последовательности равносильных преобразований с последующей геометрической иллюстрацией на числовой оси. Две системы неравенств называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Решение системы двух линейных неравенств с одной переменной может привести к одному из четырёх возможных случаев:
1)x > a,
x > b. _________ (b; +∞)
2)x > a,
x < b; _________ ( a; b)
3)x < a,
x < b; _________ ( -∞; a).
4)x < a,
x > b; ____ решений нет.
Аналогично можно решать системы, содержащие и большее число неравенств.

Пример №5. Решить систему неравенств: {2x + 3 > 0,
{-4x + 5 < 0;
Выполнив равносильные преобразования, получаем систему: {x > - 3/2;
x > 5/4;
Отметим на координатных осях интервалы, полученные для каждого неравенства отдельно:
В качестве решения возьмём общую часть этих интервалов: ( 5/4; + ∞).
Геометрическую интерпретацию решения системы неравенств можно осуществлять и на одной числовой оси.

Пример №6. Решить систему неравенств:
3x – 6 > 0,
15 – 5x ≤ 0,
1,7x – 5,8 < 1.
Используя числовую ось, получаем решение системы: [3;4).
Систему неравенств иногда можно записать в виде двойного неравенства и в этом случае удаётся применить другой способ решения.

Пример №7. Решить систему неравенств:
2x – 5 > 0,
2x – 5 < 7.
Запишем систему неравенств в виде двойного неравенства:
0 < 2x - 5 < 7,
5 < 2x < 12,
5/2 < x < 6.
Следовательно, решением системы является интервал: (5/2; 6).
Пример (ГИА,2009).Решить систему неравенств x + 5 ≤ 3x + 7
(2x – 1)/3 ≤ (x + 1)/2.
Ответ: [ -1; 5].

КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
Неравенство вида ax2 + bx + c > 0 (или ax2 + bx + c < 0),
где a,b,c – действительные числа, причём a ≠ 0, называют неравенством второй степени с одним неизвестным x.
Решением квадратного неравенства называют такое число x0, при подстановке которого вместо x получается верное числовое неравенство.
Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что их нет.
Решение неравенства ax2 + bx + c > 0 или ax2 + bx + c < 0 можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых функция
y = ax2 + bx + c принимает положительные или отрицательные значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции y = ax2 + bx +c в координатной плоскости: куда направлены ветви параболы – вверх или вниз, пересекает ли парабола ось X и если пересекает, то в каких точках

Итак, для решения неравенств вида ax2 + bx + c > 0
и ax2 + bx + c < 0 поступают следующим образом:
находят дискриминант квадратного трёхчлена
ax2 + bx + c
и выясняют имеет ли трёхчлен корни;
если трёхчлен имеет корни, то отмечают их на оси X и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой направлены вверх при a > 0 или вниз при a < 0; если трёхчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при a > 0
или в нижней при a < 0;
находят на оси X промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси X
( если решают неравенство ax2 + bx + c > 0)
или ниже осиX ( если решают неравенство
ax2 + bx + c < 0).

Пример: (ГИА,2009). Для каждого неравенстваукажите множество его решений:
а) х2 – 4 < 0, 1) ( -∞; - 2) U (2; + ∞)
б) х2 + 4 < 0, 2) ( -2; 2)
в) х2 – 4 > 0. 3) нет решений.

Пример: (ГИА,2009).Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
x2 – 2ax + 5a + 6 ≤ 0 не имеет решения.
Решение. Квадратичная функция y = x2 – 2ax + 5a + 6 определена при всех значениях переменной. Поэтому если неравенство x2 - 2ax + 5a + 6 ≤ 0 не имеет решения, то это означает, что функция принимает положительные значения при всех значениях переменной.
А это возможно, только если дискриминант квадратного трёхчлена , стоящего в левой части неравенства, будет отрицательным.
Вычислим дискриминант, используя чётность второго коэффициента, получим: D1 = a2 – 5a – 6.
Для нахождения искомых значений параметра осталось решить неравенство D1 < 0.
Имеем: a2 – 5a – 6 < 0; (a + 1) (a – 6) < 0; -1 < a < 6.
Ответ: ( -1; 6).

Задачи раздела НЕРАВЕНСТВА направлены на проверку умений:
а) решать линейные неравенства с одной переменной, требующие для приведения их к простейшему виду алгебраических преобразований; системы неравенств; выбирать решения, удовлетворяющие дополнительным условиям;
б) решать квадратные неравенства и системы, включающие квадратные неравенства;
в) применять аппарат неравенств для решения других задач.

Пример №8. Решить неравенство: 3x2 – 2x – 5 ≤0.
Х = 1 + 4
3
Многочлен P(x) = ( x+ 1)( x – 5/3) содержит все скобки в первой ( нечётной) степени, значит при переходе через каждый корень знак будет меняться.
Нас интересуют промежутки с отрицательными знаками, следовательно,
x є [-1;5/3].
Пример №9. Решить неравенство: -4x2 + 4x – 1 < 0.
Так как дискриминант квадратного трёхчлена равен нулю, то корень один
x = ½, следовательно, имеем (x -½)2 > 0. Линейный множитель возводится
в чётную степень, значит , знак менять не будем.
Получаем: xє (-∞;½) U (½;+∞).
Пример №10. Решить неравенство: 3x2 – 2x + 1 >0.
Дискриминант квадратного трёхчлена отрицателен, значит корней нет,
и квадратный трёхчлен положителен всюду. Получаем x є R.