Effective Mathematics Instruction

Эффективное преподавание математики:
Роль математических задач*
На основании исследований, которые являются фундаментом внедрения стандартов преподавания математики (Штайн, Смит, Хеннингсен, и Сильвер, 2000).

Why Instructional Tasks are Important

Почему важны учебные задачи

Comparing Two Mathematical Tasks
Martha’s Carpeting Task
The Fencing Task

Сравнение Двух Математических задач
Задача про Ковровое покрытие Марты
Задача про Ограждение

Martha’s Carpeting Task
Martha was recarpeting her bedroom, which was 15 feet long and 10 feet wide. How many square feet of carpeting will she need to purchase?

Задача про Ковровое покрытие Марты
Марта заново покрывала ковром свою спальню, в 15 футов длиной и 10 футов шириной. Сколько кв.футов коврового покрытия необходимо приобрести?

The Fencing Task
Ms. Brown’s class will raise rabbits for their spring science fair. They have 24 feet of fencing with which to build a rectangular rabbit pen to keep the rabbits.
If Ms. Brown’s students want their rabbits to have as much room as possible, how long would each of the sides of the pen be?
How long would each of the sides of the pen be if they had only 16 feet of fencing?
How would you go about determining the pen with the most room for any amount of fencing? Organize your work so that someone else who reads it will understand it.

Задача про Ограждение
Класс Г-жи Браун будет выращивать кроликов для весенней научной выставки. У них будет 24 фута ограждений с помощью которых они смогут построить прямоугольный крольчатник, для содержания этих кроликов.
Если ученики г-жи Браун хотят чтобы у кроликов была самый просторный загон, какой длины должна быть каждая из сторон ограждения?
Какой длины была бы каждая сторона загона, если бы у них было всего 16 футов ограждения?
Как бы вы определяли ограждение комнаты с любой величиной ограждения? Организуйте свои расчеты таким образом, чтобы все кто смог бы с ними ознакомиться, смогли их понять.

Comparing Two Mathematical Tasks
Think privately about how you would go about solving each task (solve them if you have time)
Talk with you neighbor about how you did or could solve the task
Martha’s Carpeting
The Fencing Task

Сравнение Двух Математических Задач
Самостоятельно подумайте о том как бы вы решали каждую задачу (решите их если у вас есть время)
Поговорите с вашим соседом как вы решили или как бы вы могли решить задачу
Задачу про Ковровое покрытие Марты
Задачу про Ограждение

Solution Strategies:
Martha’s Carpeting Task

Стратегии Решения:
Задача про Ковровое покрытие Марты

Martha’s Carpeting Task
Using the Area Formula
A = l x w
A = 15 x 10
A = 150 square feet

Задача про Ковровое покрытие Марты
Использование формулы измерения площади
A = длина x ширину
A = 15 x 10
A = 150 кв.футов

Martha’s Carpeting Task
Drawing a Picture
10
15

Задача про Ковровое покрытие Марты
Изображение рисунка
10
15

Solution Strategies: The Fencing Task

Стратегии решений: Задача про Ограждение

The Fencing Task
Diagrams on Grid Paper

Задача про Ограждение
Диаграммы на миллиметровой бумаге

The Fencing Task
Using a Table

Задача про Ограждение
Использование таблицы

The Fencing Task
Graph of Length and Area

Задача про Ограждение
График Длины и Площади

Comparing Two Mathematical Tasks
How are Martha’s Carpeting Task and the Fencing Task the same and how are they different?

Сравнение Двух Математических Задач
В чем сходство и различие задач про Ковровое покрытие Марты и задачи про Ограждение?

Similarities and Differences
Similarities
Both are “area” problems
Both require prior knowledge of area
Differences
The amount of thinking and reasoning required
The number of ways the problem can be solved
Way in which the area formula is used
The need to generalize
The range of ways to enter the problem

Сходства и Различия
Сходства
Обе задачи связаны с «площадью»
Оба требуют предварительного знания площади
Различия
Время необходимое на размышления
Количество способов решения задачи
Способ использования формулы вычисления площади
Необходимость делать выводы
Пути решения проблемы

Mathematical Tasks:
A Critical Starting Point for Instruction
Not all tasks are created equal, and different tasks will provoke different levels and kinds of student thinking.
Stein, Smith, Henningsen, & Silver, 2000

Математические задачи:
Критическая отправная точка объяснения
Не все задачи созданы одинаково, и разные задачи будут пробуждать различные уровни и виды мышления учеников.
Штайн, Смит, Хеннингсен, и Сильвер, 2000).

Mathematical Tasks:
The level and kind of thinking in which students engage determines what they will learn.
Hiebert, Carpenter, Fennema, Fuson, Wearne, Murray, Oliver, & Human, 1997

Mathematical Tasks:
Уровень и вид мышления которые задействую ученики определяют то, что они выучат.
Гиберт, Карпинтер, Феннема, Фьюзон, Варне, Мюррей, Оливер, & Хьюман, 1997

There is no decision that teachers make that has a greater impact, on students’ opportunities to learn and on their perceptions about what mathematics is, than the selection or creation of the tasks with which the teacher engages students in studying mathematics.
Lappan & Briars, 1995
Mathematical Tasks:

Нет более искусного решения, позволяющего учителю повлиять на способности учеников учиться и на их восприятие о математики, чем выбор или создание задач, с помощью которых учитель вовлекает учеников в изучение математики.
Лэппан & Бриарс, 1995
Математические задачи:

Mathematical Tasks:
If we want students to develop the capacity to think, reason, and problem solve then we need to start with high-level, cognitively complex tasks.
Stein & Lane, 1996

Математические задачи:
Если мы хотим, чтобы студенты развивали способность мыслить, размышлять и решать проблемы, то мы должны начать со сложных для понимания задач высокого уровня.
Штайн & Лейн, 1996

Levels of Cognitive Demand &
The Mathematical Tasks Framework

Уровни Познавательного интереса и Рамки Математических Задач

Linking to Research:
The QUASAR Project
Low-Level Tasks
High-Level Tasks

Связь с исследованием:
Проект КВАЗАР
Задачи Низкого уровня
Задачи Высокого уровня

Linking to Research:
The QUASAR Project
Low-Level Tasks
memorization
procedures without connections to meaning
High-Level Tasks
procedures with connections to meaning
doing mathematics

Связь с исследованием:
Проект КВАЗАР
Задачи Низкого уровня
запоминание
Методики без связи со значением
Задачи Высокого уровня
методики связи со значением
Занятие математикой

Linking to Research:
The QUASAR Project
Задачи Низкого уровня
запоминание
Методики без связи со значением
(н/р, Задача про Ковровое покрытие Марты)
Задачи Высокого уровня
методики связи со значением
Занятие математикой (н/р, Задача про Ограждение)

Связь с исследованием:
Проект КВАЗАР
Low-Level Tasks
memorization
procedures without connections to meaning (e.g., Martha’s Carpeting Task)
High-Level Tasks
procedures with connections to meaning
doing mathematics (e.g., The Fencing Task)

The Mathematical Tasks Framework
TASKS
as they appear in curricular/ instructional materials
TASKS
as set up by the teachers
TASKS
as
implemented
by students
Student Learning
Stein, Smith, Henningsen, & Silver, 2000, p. 4

Рамки Математических задач
ЗАДАЧИ
как они представлены в учебном материале
ЗАДАЧИ
Как объясняются учителем
ЗАДАЧИ
Как выполняются учениками
Обучение студента
(Штайн, Смит, Хеннингсен, и Сильвер, 2000)., стр. 4

The Mathematical Tasks Framework
TASKS
as they appear in curricular/ instructional materials
TASKS
as set up by the teachers
TASKS
as
implemented
by students
Student Learning
Stein, Smith, Henningsen, & Silver, 2000, p. 4

Рамки Математических задач
ЗАДАЧИ
как они представлены в учебном материале
ЗАДАЧИ
Как объясняются учителем
ЗАДАЧИ
Как выполняются учениками
Обучение студента
(Штайн, Смит, Хеннингсен, и Сильвер, 2000)., стр. 4

The Mathematical Tasks Framework
TASKS
as they appear in curricular/ instructional materials
TASKS
as set up by the teachers
TASKS
as
implemented
by students
Student Learning
Stein, Smith, Henningsen, & Silver, 2000, p. 4

Рамки Математических задач
ЗАДАЧИ
как они представлены в учебном материале
ЗАДАЧИ
Как объясняются учителем
ЗАДАЧИ
Как выполняются учениками
Обучение студента
(Штайн, Смит, Хеннингсен, и Сильвер, 2000)., стр. 4

The Mathematical Tasks Framework
TASKS
as they appear in curricular/ instructional materials
TASKS
as set up by the teachers
TASKS
as
implemented
by students
Student Learning
Stein, Smith, Henningsen, & Silver, 2000, p. 4

Рамки Математических задач
ЗАДАЧИ
как они представлены в учебном материале
ЗАДАЧИ
Как объясняются учителем
ЗАДАЧИ
Как выполняются учениками
Обучение студента
(Штайн, Смит, Хеннингсен, и Сильвер, 2000)., стр. 4

The Mathematical Tasks Framework
TASKS
as they appear in curricular/ instructional materials
TASKS
as set up by the teachers
TASKS
as
implemented
by students
Student Learning
Stein, Smith, Henningsen, & Silver, 2000, p. 4

Рамки Математических задач
ЗАДАЧИ
как они представлены в учебном материале
ЗАДАЧИ
Как объясняются учителем
ЗАДАЧИ
Как выполняются учениками
Обучение студента
(Штайн, Смит, Хеннингсен, и Сильвер, 2000)., стр. 4

Cognitive Demands at Set Up
Stein, Grover, & Henningsen, 1996

Порядок Познавательной потребности
Штайн, Гровер, & Хеннингсен, 1996

Factors Associated with the Maintenance and Decline of High-Level Cognitive Demands
Routinizing problematic aspects of the task
Shifting the emphasis from meaning, concepts, or understanding to the correctness or completeness of the answer
Providing insufficient time to wrestle with the demanding aspects of the task or so much time that students drift into off-task behavior
Engaging in high-level cognitive activities is prevented due to classroom management problems
Selecting a task that is inappropriate for a given group of students
Failing to hold students accountable for high-level products or processes
Stein, Grover & Henningsen, 1996

Факторы, связанные с Поддержанием и Отклонением от познавательных требований высокого уровня
Упрощение проблемных аспектов задачи
Смещение акцента со значения, концепций, или понимания к правильности и полноте ответа
Обеспечение недостаточного времени для борьбы с требуемыми аспектами задачи или такого количества времени, чтобы студенты вышли за пределы задачи
Участию в познавательной деятельности высокого уровня мешают проблемы управления классом
Выбор задачи, неприемлемой для данной группы студентов
Неумение возлагать на учеников ответственность за продукты и процессы высокого уровня
Штайн, Гровер & Хеннингсен, 1996

Factors Associated with the Maintenance and Decline of High-Level Cognitive Demands
Scaffolding of student thinking and reasoning
Providing a means by which students can monitor their own progress
Modeling of high-level performance by teacher or capable students
Pressing for justifications, explanations, and/or meaning through questioning, comments, and/or feedback
Selecting tasks that build on students’ prior knowledge
Drawing frequent conceptual connections
Providing sufficient time to explore
Stein, Grover & Henningsen, 1996

Факторы, связанные с Поддержанием и Отклонением от познавательных требований высокого уровня
Наполнение ученического мышления и рассуждения
Обеспечение средств, с помощью которых студенты могут отслеживать свой прогресс
Моделирование высокого уровня результативности учителем или способными учениками
Актуальность объяснений, и / или, значения через вопросы, комментарии и / или обратную связь
Выбор задач, которые основываются на предыдущих знаниях учеников
Получение частых концептуальных связей
Обеспечение достаточного времени для изучения
Штайн, Гровер& Хеннингсен, 1996

Factors Associated with the Maintenance and Decline of High-Level Cognitive Demands
Decline Maintenance
Routinizing problematic aspects of the task
Shifting the emphasis from meaning, concepts, or understanding to the correctness or completeness of the answer
Providing insufficient time to wrestle with the demanding aspects of the task or so much time that students drift into off-task behavior
Engaging in high-level cognitive activities is prevented due to classroom management problems
Selecting a task that is inappropriate for a given group of students
Failing to hold students accountable for high-level products or processes
Scaffolding of student thinking and reasoning
Providing a means by which students can monitor their own progress
Modeling of high-level performance by teacher or capable students
Pressing for justifications, explanations, and/or meaning through questioning, comments, and/or feedback
Selecting tasks that build on students’ prior knowledge
Drawing frequent conceptual connections
Providing sufficient time to explore

Факторы, связанные с Поддержанием и Отклонением от познавательных требований высокого уровня Отклонение Поддержание
Упрощение проблемных аспектов задачи
Смещение акцента со значения, концепций, или понимания к правильности и полноте ответа
Обеспечение недостаточного времени для борьбы с требуемыми аспектами задачи или такого количества времени, чтобы студенты вышли за пределы задачи
Участию в познавательной деятельности высокого уровня мешают проблемы управления классом
Выбор задачи, неприемлемой для данной группы студентов
Неумение возлагать на учеников ответственность за продукты и процессы высокого уровня
Наполнение ученического мышления и рассуждения
Обеспечение средств, с помощью которых студенты могут отслеживать свой прогресс
Моделирование высокого уровня результативности учителем или способными учениками
Актуальность объяснений, и / или, значения через вопросы, комментарии и / или обратную связь
Выбор задач, которые основываются на предыдущих знаниях учеников
Получение частых концептуальных связей
Обеспечение достаточного времени для изучения

Does Maintaining Cognitive Demand Matter?
YES

Имеет ли значение поддержание познавательного интереса?
ДА

Stein & Lane, 1996
A.
B.
C.
High
High
Low
Low
High
Low
Moderate
High
Low
Task Set Up
Task Implementation
Student Learning
Patterns of Set up, Implementation, and Student Learning