ЕГЭ по информатике

Основы логики
Знание символики
Знание таблиц истинности основных логических операций (инверсия, конъюнкция, дизъюнкция), а также импликации
Знание и применение основных законов логики

Таблицы истинности
логических операций

Основы логики
Пример 1. Для какого из указанных значений X истинно высказывание ¬ ((X >2) → (X>3))?
1)x=1 2) x= 2 3) x= 3 4) x= 4

Пример 2. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению
¬(A \/ ¬ B \/ C)
1) ¬A \/ B \/ ¬C
2) A /\ ¬B /\ C
3)¬A \/ ¬B \/ ¬C
4) ¬A /\ B /\ ¬C

Пример 2. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению
¬(A \/ ¬ B \/ C)
1) ¬A \/ B \/ ¬C 2) A /\ ¬B /\ C
3)¬A \/ ¬B \/ ¬C 4) ¬A /\ B /\ ¬C
Решение: ¬(A \/ B)= ¬A /\ ¬B
¬(¬ A) = A

Пример 2. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению
¬(A \/ ¬ B \/ C)
1) ¬A \/ B \/ ¬C 2) A /\ ¬B /\ C
3)¬A \/ ¬B \/ ¬C 4) ¬A /\ B /\ ¬C
Решение: ¬(A \/ B)= ¬A /\ ¬B
¬(¬ A) = A
¬(A \/ ¬ B \/ C) = ¬A /\ ¬(¬B) /\ ¬C =

Пример 2. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению
¬(A \/ ¬ B \/ C)
1) ¬A \/ B \/ ¬C 2) A /\ ¬B /\ C
3)¬A \/ ¬B \/ ¬C 4) ¬A /\ B /\ ¬C
Решение: ¬(A \/ B)= ¬A /\ ¬B
¬(¬ A) = A
¬(A \/ ¬ B \/ C) = ¬A /\ ¬(¬B) /\ ¬C =
¬A /\ B /\ ¬C
Ответ 4

Пример 3. Сколько различных решений имеет уравнение
((K /\L) –> (L /\ M \/ N)) = 1, где K, L, M, N – логические переменные?

((K /\L) –> (L /\ M \/ N)) = 1
1 4 2 3
Сколько различных решений имеет уравнение

((K /\L) –> (L /\ M \/ N)) = 1
1 4 2 3
Сколько различных решений имеет уравнение

((K /\L) –> (L /\ M \/ N)) = 1
1 4 2 3
Сколько различных решений имеет уравнение

((K /\L) –> (L /\ M \/ N)) = 1
1 4 2 3
Сколько различных решений имеет уравнение

((K /\L) –> (L /\ M \/ N)) = 1
1 4 2 3
Ответ: 15
Сколько различных решений имеет уравнение

Пример 4. Для какого из указанных значений X истинно высказывание ¬ ((X>2) → (X>3))?
1)x=1 2) x= 2 3) x= 3 4) x= 4
Решение:
¬ ((X>2) → (X>3)) = 1
(X>2) → (X>3) = 0

Пример 4. Для какого из указанных значений X истинно высказывание ¬ ((X>2) → (X>3))?
1)x=1 2) x= 2 3) x= 3 4) x= 4
Решение:
¬ ((X>2) → (X>3)) = 1
(X>2) → (X>3) = 0
Из таблицы истинности импликации
1 → 0 = 0

Пример 4. Для какого из указанных значений X истинно высказывание ¬ ((X>2) → (X>3))?
1)x=1 2) x= 2 3) x= 3 4) x= 4
Решение:
¬ ((X>2) → (X>3)) = 1
(X>2) → (X>3) = 0
Из таблицы истинности импликации
1 → 0 = 0
Ответ: 3) x= 3

Пример 5. Для каких значений X истинно высказывание ¬ ((X>2) → (X>3))?

Пример 5. Для каких значений X истинно высказывание ¬ ((X>2) → (X>3))?
Решение:
¬ ((X>2) → (X>3)) = 1
(X>2) → (X>3) = 0

Пример 5. Для каких значений X истинно высказывание ¬ ((X>2) → (X>3))?
Решение:
¬ ((X>2) → (X>3)) = 1
(X>2) → (X>3) = 0
1→ 0 = 0

Пример 5. Для каких значений X истинно высказывание ¬ ((X>2) → (X>3))?
Решение:
¬ ((X>2) → (X>3)) = 1
(X>2) → (X>3) = 0
1 → 0 = 0
X >2 и X<=3

Пример 5. Для каких значений X истинно высказывание ¬ ((X>2) → (X>3))?
Решение:
¬ ((X>2) → (X>3)) = 1
(X>2) → (X>3) = 0
1 → 0 = 0
X >2 и X<=3
(2;3]

Пример 6. Каково наибольшее ЦЕЛОЕ число X, при котором истинно
(90 < X·X) → (X < (X – 1)) ?

Пример 6. Каково наибольшее ЦЕЛОЕ число X, при котором истинно
(90 < X·X) → (X < (X – 1)) ?
Решение: (90 < X2) → (X < (X – 1)) = 1

Пример 6. Каково наибольшее ЦЕЛОЕ число X, при котором истинно
(90 < X·X) → (X < (X – 1)) ?
Решение: (90 < X2) → (X < (X – 1)) = 1
Из таблицы истинности импликации
1→ 1 = 1
0 → 1 = 1
0 → 0 = 1

Пример 6. Каково наибольшее ЦЕЛОЕ число X, при котором истинно
(90 < X·X) → (X < (X – 1)) ?
Решение: (90 < X2) → (X < (X – 1)) = 1
Из таблицы истинности импликации
1 → 1 = 1
0 → 1 = 1
0 → 0 = 1
X < (X – 1) = 0 для всех X,
следовательно (90 < X2) = 0

Пример 6. Каково наибольшее ЦЕЛОЕ число X, при котором истинно
(90 < X·X) → (X < (X – 1)) ?
Решение: (90 < X2) → (X < (X – 1)) = 1
Из таблицы истинности импликации
1 → 1 = 1
0 → 1 = 1
0 → 0 = 1
X < (X – 1) = 0 для всех X,
следовательно (90 < X2) = 0
если 90 =>X2

Пример 6. Каково наибольшее ЦЕЛОЕ число X, при котором истинно
(90 < X·X) → (X < (X – 1)) ?
Решение: (90 < X2) → (X < (X – 1)) = 1
Из таблицы истинности импликации
1 → 1 = 1
0 → 1 = 1
0 → 0 = 1
X < (X – 1) = 0 для всех X,
следовательно (90 < X2) = 0
если 90 =>X2
-√90<=x<=+√90

Пример 6. Каково наибольшее ЦЕЛОЕ число X, при котором истинно
(90 < X·X) → (X < (X – 1)) ?
Решение: (90 < X2) → (X < (X – 1)) = 1
Из таблицы истинности импликации
1 → 1 = 1
0 → 1 = 1
0 → 0 = 1
X < (X – 1) = 0 для всех X,
следовательно (90 < X2) = 0
если 90 =>X2
-√90<=x<=+√90
Ответ: x = 9

Пример 7. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание
(50
(X+1)·(X+1))
Решение: (50
(X+1)2) = 1
Из таблицы истинности импликации
1 → 1 = 1
0 → 1 = 1
0 → 0 = 1

Решение: (50
(X+1)2) = 1
Из таблицы истинности импликации
(X2>50) = 1 (X+1)2 < 50 = 1
(X2>50) = 0 (X+1)2 < 50 = 1
(X2>50) = 0 (X+1)2 < 50 = 0

Решение: (50
(X+1)2) = 1
Из таблицы истинности импликации
(X2>50) = 1 (X+1)2 < 50 = 1
x<-√50 или x>√50 -√50< (x+1) <√50

Решение: (50
(X+1)2) = 1
Из таблицы истинности импликации
(X2>50) = 1 (X+1)2 < 50 = 1
x<- √50 или x>√50 -√50< (x+1) <√50
(-∞; -7)U(7;+∞) (-8; 6)

Решение: (50
(X+1)2) = 1
Из таблицы истинности импликации
(X2>50) = 1 (X+1)2 < 50 = 1
x<-√50 или x>√50 -√50< (x+1) <√50
(-∞; -7) U(7;+∞) [-8; 6)
[-8; -7)

Решение: (50
(X+1)2) = 1
Из таблицы истинности импликации
(X2>50) = 1 (X+1)2 < 50 = 1
x<-√50 или x>√50 -√50< (x+1) <√50
(-∞; -7) U(7;+∞) [-8; 6)
[-8; -7)
(X2>50) = 0 (X+1)2 < 50 = 1

Решение: (50
(X+1)2) = 1
Из таблицы истинности импликации
(X2>50) = 1 (X+1)2 < 50 = 1
x<-√50 или x>√50 -√50< (x+1) <√50
(-∞; -7) U(7;+∞) [-8; 6)
[-8; -7)
(X2>50) = 0 (X+1)2 < 50 = 1
[-7; 7] [-8; 6)
[-7; 6)

Решение: (50
(X+1)2) = 1
Из таблицы истинности импликации
(X2>50) = 1 (X+1)2 < 50 = 1
x<-√50 или x>√50 -√50< (x+1) <√50
(-∞; -7) U(7;+∞) [-8; 6)
[-8; -7)
(X2>50) = 0 (X+1)2 < 50 = 1
[-7; 7] [-8; 6)
[-7; 6)
(X2>50) = 0 (X+1)2 < 50 = 0

Решение: (50
(X+1)2) = 1
Из таблицы истинности импликации
(X2>50) = 1 (X+1)2 < 50 = 1
x<-√50 или x>√50 -√50< (x+1) <√50
(-∞; -7) U(7;+∞) [-8; 6)
[-8; -7)
(X2>50) = 0 (X+1)2 < 50 = 1
X2<=50
-√50<= x<=√50 -√50< (x+1) <√50
[-7; 7] [-8; 6)
[-7; 6)
(X2>50) = 0 (X+1)2 < 50 = 0
[-7; 7] (-∞; -8) U[6;+∞)
[6;7]
Ответ: наибольшее целое x=7

Проверка.
(50
(X+1)2)
при x= 7
(50<72)→(50>(7+1)2)
(50<49)→(50>64) истина
при x= -8
(50<(-8)2)→(50>(-8+1)2)
(50<64)→(50>49) истина

Пример 8. Пончик, Ленчик и Батончик нашли клад. Один из них этот клад утаил. На следствии они сделали следующие заявления.
Леньчик: Пончик этого не делал. Виноват Батончик.
Пончик: Батончик этого не делал. Это сделал Ленчик.
Батончик: Пончик врет. Леньчик не виноват.
Следствие установило, что один оба раза солгал, а остальные говорили правду. Кто утаил клад?

Простые высказывания
П – Пончик утаил клад
Л - Ленчик утаил клад
Б - Батончик утаил клад
Высказывания
Леньчик: Пончик этого не делал(¬П). Виноват Батончик (Б).
Пончик: Батончик этого не делал(¬Б).
Это сделал Ленчик (Л).
Батончик: Пончик врет ¬(¬Б/\ Л) . Леньчик не виноват (¬Л)

Леньчик: Пончик этого не делал(¬П). Виноват Батончик (Б).
Пончик: Батончик этого не делал(¬Б).
Это сделал Ленчик (Л).
Батончик: Пончик врет ¬(¬Б/\ Л) = Б\/¬Л
Леньчик не виноват (¬Л)
Леньчик Пончик Батончик

Следствие установило, что один оба раза солгал, а остальные говорили правду.
У одного 0 0 , у двух 1 1
Леньчик Пончик Батончик

Пример 9. Синоптик объявляет погоду на завтра и утверждает следующее:
Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя
Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра
Если будет пасмурно, то будет дождь и не будет ветра
Какая погода будет завтра?
Решение: Выделим простые высказывания
В – ветер
П – пасмурно
Д - дождь

Запишем высказывания
Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя
¬В → П /\ ¬Д

Запишем высказывания
Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя
¬В → П /\ ¬Д
Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра
Д → П /\ ¬В

Запишем высказывания
Если не будет ветра, то будет пасмурная погода без дождя
¬В → П /\ ¬Д
Если будет дождь, то будет пасмурно и без ветра
Д → П /\ ¬В
Если будет пасмурно, то будет дождь и не будет ветра
П → Д /\ ¬В

Простые высказывания
В – ветер
П – пасмурно
Д - дождь
В – 1 П – 0 Д – 0
Ответ: погода будет ясная, без дождя, но ветреная

Пример 10.

Решение.
Дом 1 Дом 2 Дом 3 Дом 4

Решение.
Слесарь живет левее Учителя С У
2. Парикмахер живет правее Учителя У П
3. Врач живет с краю
4. Врач живет рядом с Парикмахером
5. Борис не Врач и не живет рядом с Врачом
6. Андрей живет рядом с Учителем
7. Иван живет левее Парикмахера И П
8. Иван живет через дом от Андрея

Решение.
Дом 1 Дом 2 Дом 3 Дом 4
Слесарь живет левее Учителя С У
2. Парикмахер живет правее Учителя У П

Решение.
Дом 1 Дом 2 Дом 3 Дом 4
Слесарь живет левее Учителя С У

Решение.
Дом 1 Дом 2 Дом 3 Дом 4
4. Врач живет рядом с Парикмахером
3. Врач живет с краю

Решение.
Дом 1 Дом 2 Дом 3 Дом 4
5. Борис не Врач и не живет рядом с Врачом

Решение.
Дом 1 Дом 2 Дом 3 Дом 4
6. Андрей живет рядом с Учителем

Решение.
Дом 1 Дом 2 Дом 3 Дом 4
7. Иван живет левее Парикмахера

Решение.
Дом 1 Дом 2 Дом 3 Дом 4
7. Иван живет через дом от Андрея