Экстремум функции двух переменных

Пример 1. - полусфера
В точке - максимум, т.к. в окрестности этой точки значения функции меньше, чем в точке :

Пример 2. - параболоид

В точке - минимум, т.к. в окрестности этой точки значения функции больше, чем в точке :

Также, как и в случае функции одной переменной для нахождения экстремума находят критические точки.
Это точки, в которых и равны нулю. Таким образом, обращение в нуль в точке частных производных является необходимым условием существования с этой точке экстремума.

Следовательно, точки экстремума следует искать среди критических точек.
Однако существуют критические точки, не являющиеся точками экстремума. Поэтому рассмотрим достаточные условия существования экстремума.

Пусть - критическая точка.
Находим
Составим определитель

Возможны случаи:
Экстремума нет
Требуется дополнительное исследование

Пример. Найти экстремумы функции
1) Находим и

2) Составим систему уравнений

Подставим во второе уравнение
или
Получили две критические точки
и

3) Находим

4) Рассмотрим и находим значения вторых производных в этой точке:
Следовательно экстремума нет.

4) Рассмотрим
В точке функция имеет
экстремум, т.к.

Чтобы выяснить, max или min в точке
смотрим на знак или
Ответ: функция имеет в точке минимум,

1) Найти область определения функций
Самостоятельная работа №2
2) Найти частные производные первого и второго порядка
3) где
Найти и

Условный экстремум: метод множителей Лагранжа

Пример
идея: сведём уравнение ,задающее функцию двух переменных ,к функции одной переменной с помощью уравнения связи (1)

cужение исходной функции -функцию исследуем на экстремум

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА

исключить λ,выразив из первых двух уравнений и приравняв результаты;
ВЫРАЗИТЬ из первого уравнения X,из второго –Y и подставить в третье уравнение ,которое будет зависеть только от λ

Составить достаточные условия экстремума