Формулы для вычисления площади треугольника

Цель урока: Познакомится с формулами для вычисления площадей треугольника:
а) по стороне и высоте, проведенной к этой стороне;
б) по двум сторонам и углу между ними;
в) формулой Герона
г ) Через радиус вписанной окружности и описанной окружности

Площадь треугольника по стороне и высоте проведенной к ней.
S=a*h
А
В
С
Д
S
h
а
а
h
А
В С
S= 1 a*h
2

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними.
S= АС*ВД ВД=АВ*Sin (180-a) ВД=АВ*Sin a
S= АВ*АС*Sin a
А
А
С
С
В
В
Д
Д
α
α
1
2
1
2

Древнегреческий математик Герон Александрийский (I в. н.э.) Получил формулу для вычисления площади треугольника по его трём сторонам:
S = √p (p-a) (p-b) (p-c)

Краткий вывод формулы Герона

Пусть a,b,c - стороны треугольника, а α, β, γ –величины его углов. Обозначим через p полупериметр этого треугольника:
С
В
А
α
β
γ

p=
a + b + c
2

По теореме косинусов :
cos α=
b² +c² – a²
2bc

Sin α =
2S
bc

Подставляя найденные выражения
Sin α и Cos α в формулу
Sin² α + Cos² α = 1, получим:
2S
bc
²
b² + c² - a²
2bc
²
+
=1

Отсюда, применяя формулу разности квадратов, имеем:
a + b + c
2
.
b + c- a
2
.
a + b - c
2
.
a + c- b
2
=
=
p ( p – a )( p – b )( p - c)

S = √p (p-a) (p-b) (p-c)

Дано: АВС –треугольник
АВ=ВС=АС=а
Вывести:формулу площади треугольника
S = a*h
h= √ - =a √3
S= * a* a √3
а
а
а
h
2
a
2
1
a²
a²
4
2
1
2
2

∆
a2 √3
4
=
S

S = a*b
a
b
1
2

В
С
S = a*r + c*r+ b*r = r*(а+в+с) =
= *r*Р = р*r
где p=
А
а
в
с
r
r
r
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
а+в+с
2

S= b*с *Sin А, где
Sin A= из теоремы
Sin a => S= b*с* =
=
А
в
а
с
С
В
2
1
a
2
R
Sin A
=
2R
1
2
a
R
2
аbс
4R

S= ah
S= b*c*sin a
S = √p*(p-a)*(p-b)*(p-c)
S= pr
S=
S=
S= a*b
1
2
h
a
a
a
a
1
2
a
b
c
r
R
a
c
b
аbс
4R
a
a²
√
3
4
a
b
1
2

Закрепление

№1 Дано:
а=1,4см
h=0,9см
Найти: S -?
∆

№2 Дано:
а=5см
b=6см
α = зо
°
Найти: S -?
∆

№3 Дано:
а=5
b=5
с=6
Найти: S -?
∆

Д/ З:
п.124,125
№30(1), №27