Формулы сокращенного умножения. Представление выражения в виде многочлена

Цель:
закрепляем умение видеть в предложенных выражениях формулы;
учимся применять полученные умения при решении различных математических проблем.

Итак, повторим…

Квадрат суммы (разности).
(a±b)2=a2+b2±2ab
Квадрат суммы (разности) двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс (минус) их удвоенное произведение.

Произведение разности двух выражений на их сумму равно…
(a-b)(a+b)= a2-b2
…разности квадратов
этих выражений.

Прочитайте выражение
(x-y)(x2+y2+xy)=
(x+y)(x2+y2-xy)=
=x3-y3
=x3+y3
Произведение разности
двух выражений на
неполный квадрат суммы
равно разности кубов этих
выражений.
Произведение суммы
двух выражений на
неполный квадрат разности
равно сумме кубов этих
выражений.

x2+ * +2xy
(x + * )2=
( * - k)2=
4d2+k2- *
(x + * )(x - * )=
x2-144
( * +4y)( * -4y)=
c4- *
( * - b)(9+b2+3b)=
* -b3
(x + * )(x- * )=
x2-25
(a- * )(a2+4+2a)=
a3- *
y
y2
2d
4dk
12
12
3
27
5
5
c2
c2
16y2
2
8
Замени звездочки…

Практикум
№№ 897, 904, 905, 906
(а)

Практикум
№ 897
В левой части видим произведение разности двух выражений на неполный квадрат суммы (разность кубов).
(x -1 )(х2+х+1)=0
x3 -1 =0
x3 =1
x =1

Практикум
№ 904
Предложенная запись диктует нам возведение в квадрат сначала разности, потом суммы, затем умножение полученных выражений ….
Однако, мы можем пойти другим путем, применив свойства степеней:
(x -2 )2(х+2)2=
=((x -2 )(х+2))2=(х2-4)2=х4+16-8х
Ищи рациональный путь!

Практикум
№ 905
Первые два множителя представляют собой произведение….
(x -у )(х+у)(х2+у2)=
=(x2-у2)(х2+у2)=
x4-у4

Практикум
№ 906
Можно, конечно, выполнить все действия так как они предложены в записи и это неплохо для тренировки (первый способ). А можно попытаться придумать более рациональное решение. Посмотри внимательно.
( 3х2+4 )2 +( 3х2-4 )2-2(3х2+4) ( 3х2-4 ) =
Сумма квадратов двух выражений минус их удвоенное произведение – это…..
(( 3х2+4 ) -( 3х2-4 ))2 =
(3х2+4 - 3х2+4 )2 =
(4 +4 )2 =64
Реши первым способом и сравни результаты.

Самостоятельная работа.
1 в. 2 в.
№1 Упростите выражение и найдите его значение:
(5x+4)(25x2-20x+16)-64, при х=2.
(2а-b)(4a2+2ab+b2)+b3, при a = -2,
b=1 .
№2 Преобразуйте в многочлен стандартного вида:
(2x+1)2-(x-5)(x+5).
(3a-2)(3a+2)+(2a-3)2.
№3 Решите уравнение:
(x-4)(x+4)-6х=(х-2)2.
(2х+3)2-7х=(2х-1)(2х+1)

Проверь себя.
№1 (5x+4)(25x2-20x+16)-64=
=(125х3+64)-64=125х3.
При х=2; 125х3=125.8=1000
№1 (2а-b)(4a2+2ab+b2)+b3=
=(8a3-b3)+b3=8a3 .
При a=-2; b=1; 8a3=8.(-8)=-64
№2 (2x+1)2-(x-5)(x+5)=
=(4х2+4х+1)-(х2-25)=
=4х2+4х+1-х2+25=х2+4х+26.
№2 (3a-2)(3a+2)+(2a-3)2=
=(9а2-4)+(4а2-12а+9)=
= 9а2-4+4а2-12а+9=5а2-12а+5.
1 в. 2 в.

Проверь себя.
1 в. 2 в.
№3 (2х+3)2-7х=(2х-1)(2х+1)
4х2+9+12х-7x=4х2-1
4х2-4х2+12х-7x=-9-1
5х=-10
х=-2
№3 (x-4)(x+4)-6х=(х-2)2
x2-16-6x=x2+4-4x
x2-x2+4x-6x=16+4
-2x=20
x=-10