Функция распределения. Плотность распределения

плотность распределения ( ПР ) или
функция плотности или
плотность вероятности
дифференциальная ФР
интегральная ФР
вероятностная мера
площадь под кривой распределения
!
свойства плотности распределения
элемент вероятности
кривая распределения
геометрическая интерпретация свойств ФР и ПР
!
!

Функция распределения
− наиболее общая, универсальная
форма описания СВ − и дискретных,
и непрерывных
Функция распределения вероятностей F(x) случайной величины X есть
вероятность того, что переменная X примет значение меньше заданного x
ФР определяет такую вероятность для каждого из значений x величины X
F( x ) = P ( X < x )
Запомнить и понять!

В соответствии с определением ФР
и правилом сложения
ФР называют кумулятивной (накопленной) вероятностью
Для дискретной X, заданной рядом
?
F(x) = ?

Для x в разных диапазонах значений:
0 , x ≤ x1
p1, x1 < x ≤ x2
p1 + p2, x2 < x ≤ x3
1, xm< x

Пример «со 2-ым стрелком»:
0, y ≤ 1
0.2, 1 < y ≤ 2
0.7, 2 < y ≤ 3
1, 3 < y
График функции распределения

Еще пример:
так выглядит ФР
числа попаданий
при 3-х
выстрелах,
при вероятности
попасть
в каждом p = 0.5

Ее скачки соответствуют возможным значениям величины и равны вероятностям этих значений.
ФР дискретной СВ − это разрывная ступенчатая функция.
Между скачками она постоянна;
в точках разрыва равна значению,
с которым подходит слева
В соответствии с определением
и как видно из формул и графиков

Очки игральной кости, номера в лототроне, числа рулетки, …
Равномерное дискретное распределение
X принимает m значений
с равными вероятностями:
P(xi) = p = 1/m, X = { x1, x2, …, xi …, xm }
Игральная

Как видели,
в случае дискретной величины
единичная вероятность достоверного события
(величина примет одно из ее возможных значений)
распределена между счетным количеством m отдельных значений xi . Скачки F(x) равны вероятностям pi этих значений .
Для непрерывной величины
эта «1» распределена между бесчисленным
числом значений, скачки оказываются
бесконечно малыми, а ФР − непрерывной.
Например, такой

1-ый пример того, как может выглядеть
ФР непрерывной величины
прочности материала (R) и т.д.
Это может быть ФР:
длины хлопкового волокна, годовой зарплаты, возраста владельцев кредитных карт,
Если Rnorm − требуемая нормативная прочность,
то F(Rnorm ) означает
P(R < Rnorm),
т.е., возможность отказа, разрушения …

Еще пример ФР непрерывной СВ
(и график, и формула)

F(X) растет с ростом x обратно пропорционально диапазону значений
Равномерный закон распределения
Например:
так распределено время ожидания поезда в метро при условии постоянных интервалов между поездами и случайного прихода пассажира

Свойства функции распределения
Следуют из определения ФР
to be continued

Следует из правила сложения вероятностей:
пусть А ~ {Х < g}, B ~ {Х < h}, C ~ {g ≤ Х < h};
тогда B = A + C, P(B) = P(A) + P(C), P(C) = ?
Если известна ФР, можно определить вероятность попадания СВ в интервал значений, в частности, что она не выйдет за нормативные границы
Важно для практики!

Пример:
Поезд в метро приходит с интервалом в 4 мин.
Учитывая, что время ожидания τ распределено равномерно, с τmin = 0 и τmax = 4,
можно определить вероятности ожидания:
1) не более 1 мин.
P(τ < 1) = F(1) = (1 − 0) / (4 − 0) = 0.25
2) более 2 мин.
P(τ > 2) = 1 − F(2) = 1 − (2 − 0) / (4 - 0) = 0. 5
3) от 1 до 2 мин.
P(1 < τ < 2) = F(2) − F(1) = 0.5 − 0.25 = 0. 25

Еще пример
P(4 < X < 8) = F(8) − F(4) =
(8 − 4) / (13 − 3)
= 0.4
Бухгалтер установил,
что сроки оплаты счетов распределены равномерно
в интервале от 3 до 13 недель.
Какова вероятность,
что выбранный наугад счет будет оплачен в период
от 4 до 8 недель?
?
0.4
!
решите !

Плотность распределения
Если ФР непрерывна и дифференцируема, то существует другая удобная форма полного описания непрерывной СВ.
Эта форма представления ЗР −
функция плотности вероятности
(или)
плотность распределения ( ПР )
ПР определяется как предел отношения вероятности попадания СВ в интервал
к величине этого интервала,
когда она стремится к нулю