Интегральное исчисление

УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ:
Понятия первообразной и
неопределенного интеграла
2. Свойства неопределенного
интеграла
3. Методы интегрирования

Литература
1. «Высшая математика для экономических специаль-ностей». Учебник и Практикум (части I и II) / Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: Высшее образование, 2008.
2. «Математика: Математический анализ. Дифференци-альные уравнения. Теория вероятностей. Математи-ческая статистика». Учебно-методическое пособие / Под ред. А.Н. Данчула. М.: Изд-во РАГС, 2004.
3. Гельман В.Я. «Решение математических задач сред-ствами Excel: Практикум». Учебник для вузов. СПб.: ПИТЕР, 2003.
4. «Сборник задач по математике». М.: Изд. РАГС, 2005.

Понятия первообразной
и неопределенного интеграла
ПЕРВЫЙ ВОПРОС

Понятие производной F '(x) действительной функции одного действительного переменного x с геометрической точки зрения соответствует угловому коэффициенту касательной к графику этой функции.
Если функция задает зависимость пройденного пути от времени, то производная этой функции является скоростью движения.
Имеет смысл и обратная задача – восстановление функции F (x) по известной зависимости ее производной F '(x) = f (x) от аргумента x.
Геометрически решение этой задачи означает построение графика функции F (x), для которой функция f (x) задает изме-нение углового коэффициента касательной к графику у = F (x) при изменении x.
В механике поставленная задача возникает при нахождении пройденного пути s(t) по известной зависимости скорости v(t) движения от времени t.
Определение.
Функцию F (x) называют первообразной функции f (x), опре-деленной в некотором промежутке X (на отрезке, в конечном или бесконечном интервале или полуинтервале), если F (x) диффе-ренцируема в этом промежутке и ∀x ∈ X значение производной F '(x) совпадает со значением функции f (x), т.е.
F '(x) = f (x) ∀x ∈ X (или dF (x) = f (x)dx ∀x ∈ X ).
Замечание.
Если X = [а, b], то под дифференцируемостью функции в гра-ничных точках x = а, x = b отрезка понимают существование конечных правосторонней и левосторонней производных соответственно.
Пример.
Функция F (x) = x3 на всей числовой прямой R является перво-образной функции f (x) = F '(x) = З х2.

Теорема.
Дифференцируемые в промежутке X функции F(x) и Ф(х) будут в этом промежутке первообразными одной и той же функции f (x) тогда и только тогда, когда разность их значений для любого х из промежутка X постоянна:
F(x) – Ф(х) = С = const ∀x ∈ X.
Доказательство.
1. Если F(x) – некоторая первообразная функции f (x) в проме-жутке X, то, согласно определению, F '(x) = f (x) ∀x ∈ X.
Но тогда и функция Ф(х) = F(x) – С (С = const) также является первообразной функции f(x) в этом промежутке, поскольку
Ф'(х) = (F(x) – С)' = F '(x) = f (x) ∀x ∈ X .
2. Введем φ(х) = F (x) – Ф(х) и найдем ее производную
φ'(х) = (F (x) – Ф(х))' = F '(x) – Ф'(х) = f (x) – f (x) = 0 ∀x ∈ X.
Но в силу признака постоянства дифференцируемой функции, вытекающего из теоремы Лагранжа, равенство φ'(х) = 0 ∀x ∈ X означает, что φ(х) = F (x) – Ф(х) = С = const ∀x ∈ X.
Описывает ли выражение F(x) + С все первообразные функции для f (x) ?

Свойства неопределенного
интеграла
ВТОРОЙ ВОПРОС

Основные свойства неопределенного интеграла

Основные свойства неопределенного интеграла

Основные свойства неопределенного интеграла

Методы интегрирования
ТРЕТИЙ ВОПРОС

Метод разложения
Неопределенный интеграл от нетривиальной линейной комбинации функций равен такой же линейной комбинации неопределенных интегралов от каждой из этих функций.
Пример. Найти интеграл
Решение.
Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования
Метод введения (подведения) под знак дифференциала
Данный метод интегрирования является вариантом метода замены переменной, когда новая переменная в явном виде не вводится.
Пример. Найти интеграл
Решение. Используя свойства дифференциала, получаем

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Пример. Найти интеграл
Решение. Записывая подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, имеем:
Тождественное равенство получается при
Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования
Пример. Найти интеграл
Решение. Наименьшее общее кратное степеней 4 и 6 радика-лов, через которые записана подынтегральная функция, – 12.
Поэтому полагаем: t = x1/12. Тогда x = t12, dx = 12 t11dt и
Далее

Методы интегрирования

Методы интегрирования