Измерение углов

Астролябия
Одним из первых угломерных инструментов была астролябия, изобретенная Гиппархом (180-125 гг. до н. э.) и усовершенствованная немецким ученым Региомонтаном (1436-1476). Она состояла из тяжелого медного диска - лимба, который подвешивался за кольцо так, чтобы он висел вертикально и линия Г1Г2 принимала горизонтальное положение. По краю лимба наносилась шкала, разделенная на градусы. Кроме этого, на лимбе имелась полоса А1А2, называемая алидадой, которая могла вращаться вокруг центра лимба и имела на концах поперечные пластинки с отверстиями, называемыми диоптрами.

Квадрант
Другим инструментом для измерения углов был квадрант, представляющий собой одну четвертую часть астролябии. Квадрант имел то преимущество перед астролябией, что его можно было сделать значительно больших размеров и тем самым увеличить точность измерения углов.

Теодолит
Наиболее совершенным угловым инструментом, применяющимся в настоящее время для выполнения геодезических работ, является теодолит, состоящий из двух лимбов, расположенных в вертикальной и горизонтальной плоскостях, что позволяет измерять вертикальные и горизонтальные углы одновременно. На вертикальном лимбе имеется зрительная труба, с помощью которой алидады вертикального и горизон-тального лимбов наводятся на объект наблюдения. Точность измерения углов при этом составляет доли минуты.

Вопрос 1
Что принимается за единицу измерения величины угла?
Ответ: За единицу измерения углов принимается угол, составляющий одну сто восьмидесятую часть развернутого угла.

Вопрос 2
Что такое: а) градус; б) минута; в) секунда?
Ответ: а) Одна сто восьмидесятая часть развернутого угла;
б) одна шестидесятая часть градуса;
в) одна шестидесятая часть минуты.

Вопрос 3
Что показывает градусная величина угла?
Ответ: Градусная величина угла показывает, сколько раз угол в один градус и его части укладываются в этом угле.

Вопрос 4
Каким свойствам удовлетворяет градусная величина угла?
Ответ: Градусная величина угла удовлетворяет следующим свойствам:
Свойство 1. Градусные величины равных углов равны.
Свойство 2. Градусная величина суммы углов равна сумме их градусных величин.

Упражнение 1
На рисунке найдите величины углов:
а) AOB;
б) AOC;
в) AOD;
г) BOC;
д) BOD;
е) COD.
Ответ: а) 60о;
б) 90о;
в) 130о;
г) 30о;
д) 70о;
е) 40о.

Упражнение 2
Луч ОС лежит внутри угла АОВ. Найдите градусную величину угла АОВ, если:
а) AOC = 35о, COB = 75о;
б) AOC = 75о, COB = 62о;
в) AOC = 94о, COB = 85о.
Ответ: а) 110о;
б) 137о;
в) 179о.

Упражнение 3
Луч ОС лежит внутри угла АОВ, равного 60о. Найдите углы АОС и ВОС, если:
а) угол АОС на 30о больше угла ВОС;
б) угол АОС в два раза больше угла ВОС;
в) градусные меры углов АОС и ВОС относятся как 2:3.
Ответ: а) 45о и 15о;
б) 40о и 20о;
в) 24о и 36о.

Упражнение 4
Какой угол образуют биссектрисы вертикальных углов?
Ответ: 180о.

Упражнение 5
Чему равен угол, образованный биссектрисами смежных углов?
Ответ: 90о.

Упражнение 6
Некоторый угол равен 38о. Чему равен смежный с ним угол?
Ответ: 142о.

Упражнение 6
Один из смежных углов на 45о меньше другого. Найдите эти углы.
Ответ: 67о30’ и 112о30’.

Упражнение 7
Найдите смежные углы, если один из них в два раза больше другого.
Ответ: 120о, 60o.

Упражнение 8
Ответ: 85о.

Упражнение 9
Ответ: 99о.

Упражнение 10
Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 30о. Чему равны остальные углы?
Ответ: 30о, 150o, 150o.

Упражнение 11
Может ли сумма трех углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, быть равной 150о?
Ответ: Нет.

Упражнение 12
Сумма трех углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 306о. Найдите эти углы.
Ответ: 126о, 126o, 54o.

Упражнение 13

Упражнение 14
Колесо имеет восемь спиц. Чему равен угол между соседними спицами?
Ответ: 45о.

Упражнение 15
На сколько градусов повернется минутная стрелка за:
а) 20 мин;
б) 10 мин;
в) 45 мин?
Ответ: а) 120о;
б) 60о;
в) 135о.

Упражнение 16
На сколько градусов повернется часовая стрелка за:
а) 2 ч;
б) 15 мин?
Ответ: а) 60о;
б) 7о30’.