Комбинаторика 10 класс

Комбинаторика

КОМБИНАТОРИКА- раздел математики, в котором изучаются простейшие «соединения», которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок.

Способ схем

Задача №1
Ужасные грабители Кнопка и Скрепка решили украсть из сейфа золотой ключик Буратино. Для того чтобы открыть замок входной двери, им нужно подобрать двузначный код. Причём известно, что дверь запирает Буратино, который знает пока ещё только 4 цифры: 1, 2, 3, 4. Сколько вариантов придется перебрать Кнопке и Скрепке, чтобы проникнуть в дом?

Ответ:
код
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
4х4=16

Задача № 2
У ковбоя Джека две лошади: каурой и гнедой масти, два седла: красное и зелёное, две пары шпор: длинные и короткие, два револьвера: один марки «Кольт», а другой- «Смит-и-Вессон». Сколькими способами Джек может экипироваться для конной прогулки по прериям?

Ответ:
Джек
К
З
Д
К
З
К
Кр
С
К
С
К
С
К
С
К
2 х 2 х 2 х 2=16
Г
лошадь
седло
шпоры
револьвер
З
Д
К
З
К
Кр
С
К
С
К
С
К
С
К

Задача №3
В распоряжении имеется 5 флажков: синий, белый, красный, оранжевый, зелёный. Для передачи некоторого сообщения на мачте вывешивают три флажка, причём имеют значение не только цвета флажков, но и порядок, в котором они вывешены: если сверху находиться красный флажок, ниже - синий, ещё ниже – зелёный, это одно сообщение, а если сверху синий потом красный, а затем зелёный – совсем другое.(Повторяться не должны!!!)
Сколько различных сообщений можно закодировать таким образом?

Ответ:
1 способ
2 способ
3 способ
4 способ
5 х 4 х 3=60

Задача №4
В школьном драмкружке решили ставить гоголевского «Ревизора». И тут начался спор. Всё началось с Ляпкина-Тяпкина.
Ляпкиным-Тяпкиным буду я!- решительно заявил Гена.
Нет, я буду Ляпкиным-Тяпкиным,- возразил Дима.- С раннего детства мечтал воплотить этот образ на сцене.
Ну, хорошо, я уступлю тебе эту роль, если мне дадут сыграть Хлестакова,-проявил великодушие Гена.
…А мне- Осипа,- не уступил ему в великодушии Дима.
Хочу быть Земляникой или Городничим,- сказал Вова.
Нет, Городничим буду я, - хором закричали Алик и Боря.- Или Хлестаковым,- добавили они вместе.
Удастся ли им распределить роли так, чтобы исполнители были довольны?

Ответ:
Ляп.-Тяп.
Земл.
Осип
Гена
Дима
Алик
Боря
Вова
1 способ
2 способ
Ляп.-Тяп.
Хлест.
Земл.
Город.
Осип
Гена
Дима
Алик
Боря
Вова
Н. В.
Гоголь
«Ревизор»

Способ умножения

Задача №1
Решение:
У двадцати обезьян 20 х 4 = 80 лап и 20 х 4 х 5=400 пальцев. Но можно рассуждать и по-другому. Палец на лапе можно выбирать пятью способами-любой из пяти; одну лапу из четырёх можно выбрать четырьмя способами и одну обезьяну из двадцати можно выбрать тоже двадцатью способами. Умножая, получим 20 х 4 х 5, опять 400, и это не случайно: ведь мы можем сначала выбрать обезьяну одним способом из двадцати, а затем уже выбирать одну из её четырёх лап. Комбинируя любой способ выбора обезьяны с любым способом выбора лапы, получаем 20 х 4=80 способов выбрать лапу, соответственно общему числу лап. Комбинируя один из восьмидесяти способов выбора лап с любым из пяти способов выбора пальца, получим 80 х 5=400 способов, соответственно числу пальцев.
У каждой обезьяны 4 лапы, на каждой лапе по 5 пальцев. В стае 20 обезьян. Сколько у них пальцев?

Сколькими способами Кролик может рассадить пять гостей на пяти разноцветных табуретках?
Задача №2
Решение:
Двух гостей на две табуретки можно рассадить 2 х 1=2 способами;
трёх гостей на три табуретки можно рассадить 3 х 2 х 1=6 способами;
четырёх гостей на четыре табуретки- 4 х 3 х 2 х 1=24 способами;
пять гостей на пять табуреток- 5 х 4 х 3 х 2 х 1=120 способами
Произведение 1 х 2 х 3 х 4 х 5 обозначается 5!(факториал пяти)
Пример: 6!=1 х 2 х 3 х 4 х 5 х 6=720

В некотором городе у всех велосипедистов были трехзначные номера. Но велосипедисты попросили, чтобы в этих номерах не встречались цифры 0 и 8, потому что первое из них похоже на вытянутое колесо, ну а что для велосипедиста «восьмёрка» колеса – знает каждый. Хватит ли им номеров, если в этом городе велосипеды имеют 710 человек?
Задача №3
Решение:
Для выбора цифры сотен номера имеется восемь возможностей, а именно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Столько же возможностей для выбора цифры десятков и единиц. Всего номеров будет: 8 х 8 х 8=512. Так что на всех обладателей велосипедов их не хватит.

Задача №4
К Маше пришли три гостя: Саша, Паша и Даша. Сколькими способами она может рассадить гостей на синей, красной и жёлтой табуретках?
Решение: На красную табуретку может сесть или Даша, или Саша, или Паша. Всего имеются три возможности. На синюю табуретку сядет один из двух оставшихся гостей. Ну а на жёлтую табуретку сядет тот гость, который не успел занять ни красную, ни синюю. Получается 3х2х1=6 способов.