Комбинаторика. Комбинаторное правило умножения

Комбинаторика.
Комбинаторное
правило умножения

Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять, сочетать».
Комбинаторика – это раздел математики, занимающийся решением комбинаторных задач.
Комбинаторная задача – задача, для решения которой необходимо составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций.

Задача 1
Государственные флаги многих стран состоят из горизонтальных или вертикальных полос разных цветов. Сколько могло бы быть различных государственных флагов, состоящих из двух горизонтальных полос одинаковой ширины и разного цвета – белого, красного и синего?
Решение.
Ответ: 6 флагов
Способ решения - перебор всевозможных вариантов
Верхняя полоса
Нижняя полоса
Флаг

Задача 2.
Из цифр 1, 2, 3, 4 необходимо составить шифр в виде трёхзначного числа так, чтобы каждая цифра встречалась только один раз. Сколькими способами можно составить такой шифр?
Решение.
Полученная схема - дерево возможных вариантов или древо графов
1
2
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
3
4
2
1
3
1
3
2
4
2
3
3
4
1
4
1
3
2
4
1
2
1
2
4
3
4
123, 124, 132, 134, 142, 143, 213, 214, 231, 234, 241, 243, 312, 314, 321, 324, 341, 342, 412, 413, 421, 423, 431, 432.

Второй способ решения.
Первую цифру можно выбрать четырьмя способами. Так как после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению
4 • 3 • 2 = 24
комбинаторное правило умножения
Пусть имеется п элементов и требуется выбрать из них один за другим k элементов. Если первый элемент можно выбрать п1 способами, после чего второй элемент можно выбрать п2 способами из оставшихся, затем третий элемент можно выбрать п3 способами из оставшихся и т. д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению п1 • п2 • п3 • ... • nk.

Задача 3.
В 9 классе 20 человек. Необходимо выбрать 2 представителя от класса в совет школы. Сколькими способами это можно сделать?
Решение.
Воспользуемся комбинаторным правилом умножения, получим
20 ∙ 19 = 380
Ответ: 380

Самостоятельная работа
Сколько существует флагов, составленных из трех горизонтальных полос одинаковой ширины и различных цветов — белого, зеленого, красного и синего? Есть ли среди этих флагов Государственный флаг Российской Федерации?
2. Составьте все возможные двузначные числа из цифр 5,7,9, используя каждую из них не более одного раза.
3. Из семи спортсменов команды, выступивших на школьных соревнованиях по лёгкой атлетике, надо выбрать трёх для участия в районных соревнованиях. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

№1
4 ∙ 3 ∙ 2 = 24
№2
57, 59, 75, 79, 95, 97
№3
7 ∙ 6 ∙ 5 = 210
Проверка