Курс лекций по теоретической механике

Лекция 7.
Импульс силы. Количество движения. Теорема об изменении количества движения. Законы сохранения. Теорема Эйлера.
Пример решения задачи на использование теоремы об изменении количества движения.
Момент количества движения. Теорема об изменении момента количества движения..

Лекция 7
Импульс силы – мера механического взаимодействия, характеризующая передачу механического движения со стороны действующих на точку сил за данный промежуток времени:
18
В проекциях
на координатные оси:
В случае постоянной силы:
В проекциях на координатные оси:
Импульс равнодействующей – равен геометрической сумме импульсов приложенных к точке сил за один и тот же промежуток времени:
Умножим на dt:
Проинтегрируем на данном промежутке времени:
Количество движения точки – мера механического движения, определяемая вектором, равным произведению массы точки на вектор ее скорости:
Теорема об изменении количества движения системы – Рассмотрим систему n материальных точек. Приложенные к каждой точке силы разделим на внешние и внутренние и заменим их на соответствующие равнодействующие Fke и Fki. Запишем для каждой точки основное уравнение динамики: или
Количество движения системы материальных точек – геометрическая сумма количеств движения материальных точек:
По определению центра масс:
Вектор количества движения системы равен произведению
массы всей системы на вектор скорости центра масс системы.
Тогда:
В проекциях на координатные оси:
Производная вектора количества движения системы по времени равна главному вектору внешних сил системы.
Просуммируем эти уравнения
по всем точкам:
В левой части уравнения внесем массы под знак производной
и заменим сумму производных на производную суммы:
Из определения количества движения системы:
В проекциях
на координатные оси:

Теорема Эйлера – Применение теоремы об изменении количества движения системы к движению сплошной среды (воды) .
1.Выбираем в качестве объекта движения объем воды, находящийся в криволинейном канале турбины:
2. Отбрасываем связи и заменяем их действие реакциями (Rпов – равнодействующая поверхностных сил)
3. Добавляем активные силы (Rоб – равнодействующая объемных сил):
4. Записываем теорему об изменении количества движения системы:
Количество движения воды в моменты времени t0 и t1
представим как суммы:
Изменение количества движения воды в интервале времени [t0,t1] :
Изменение количества движения воды
за бесконечно малый интервал времени dt: , где
F1
F2
Принимая произведение плотности, площади поперечного сечения и скорости за секундную массу
получаем:
Подставляя дифференциал количества движения системы
в теорему об изменении получаем:
Следствия из теоремы об изменении количества движения системы
(законы сохранения):
1. Если в интервале времени [t1, t2] главный вектор внешних сил системы
равен нулю, Re = 0, то вектор количества движения постоянен, Q = const
– закон сохранения количества движения системы).
2. Если в интервале времени [t1, t2] проекция главного вектора внешних сил
системы на ось x равна нулю, Rxe = 0, то проекция количества движения
системы на ось x постоянна, Qx = const.
Аналогичные утверждения справедливы для осей y и z.
Лекция 7 (продолжение 7.2)
Пример: Граната массы M, летевшая со скоростью v, разорвалась на две части. Скорость одного из осколков массы m1 возросла в направлении движения до величины v1. Определить скорость второго осколка.
1. Объект движения (граната):
2. Объект – свободная система,
связи и их реакции отсутствуют.
3. Добавляем активные силы:
4. Записываем теорему об изменении количества движения:
Проецируем на ось τ :
τ
β
Разделяем переменные и интегрируем :
Правый интеграл практически равен нулю, т.к. время взрыва t<<1.
Отсюда закон сохранения :
Геометрическая разность векторов секундных количеств движения жидкости равна
сумме главных векторов объемных и поверхностных сил.
19
В проекциях на оси:
Разность проекций векторов секундных количеств движения жидкости на ось равна
сумме проекций главных векторов объемных и поверхностных сил на ту же ось.