Курс лекций по теоретической механике

Лекция 4.
Вынужденные колебания материальной точки. Резонанс.
Влияние сопротивления движению при вынужденных колебаниях.

Лекция 4
Вынужденные колебания материальной точки – Наряду с восстанавливающей силой действует периодически изменяющаяся сила, называемая возмущающей силой.
Возмущающая сила может иметь различную природу. Например, в частном случае инерционное воздействие неуравновешенной массы m1 вращающегося ротора вызывает гармонически изменяющиеся проекции силы:
Основное уравнение динамики:
Проекция уравнения
динамики на ось:
Приведем уравнение
к стандартному виду:
12
Решение этого неоднородного дифференциального уравнения состоит их двух частей x = x1 + x2 : x1 – общее решение соответствующего
однородного уравнения и x2 – частное решение неоднородного уравнения:
Частное решение подбираем в форме правой части:
Полученное равенство должно удовлетворяться при любом t .
Тогда: или
Таким образом, при одновременном действии восстанавливающей и возмущающей сил материальная точка совершает сложное колебательное движение, представляющее собой результат сложения (наложения) свободных (x1) и вынужденных (x2) колебаний.
Если p < k (вынужденные колебания малой частоты),
то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы:
В итоге полное решение: или
Общее решение:
Постоянные С1 и С2, или a и β определяются из начальных условий с использованием полного решения (!):
Таким образом, частное решение:
Если p > k (вынужденные колебания большой частоты),
то фаза колебаний противоположна фазе возмущающей силы: