Lect__дин вращ_итого

Статика – инженерная наука, изучающая равновесие твердых тел, находящихся под действием сил. Она необходима для определения максимально допустимых нагрузок.
Чтобы удержать тело в покое (равновесии), необходимо выполнение 2-х условий:
Векторная сумма всех сил равна 0
Векторная сумма всех моментов сил равна 0

Момент силы F относительно неподвижной точки 0 – физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора r, проведенного из точки 0 в точку приложения силы, на силу F.
0
α

Момент силы относительно неподвижной оси – скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора М относительно произвольной точки данной оси.
Значение Мz не зависит от выбора положения точки 0 на оси z.

Момент импульса (количества движения) материальной точки относительно неподвижной точки 0 – физическая величина, определяемая векторным произведением

Момент импульса относительно неподвижной оси – скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора L относительно произвольной точки данной оси.
Для движения по окружности:

Уравнение моментов
Математическая справка:

Производная по времени от момента импульса относительно точки равна моменту силы относительно этой точки.
Производная по времени от момента импульса относительно оси равна моменту силы относительно этой оси.

При произвольном движении системы n материальных точек:
Закон сохранения момента импульса
системы материальных точек
Действие внутренних сил сводится
к парным взаимодействиям

Результирующий момент внутренних сил в соответствии с третьим законом Ньютона равен нулю.

Закон сохранения момента импульса является прямым следствием законов Ньютона и изотропности пространства – эквивалентности свойств пространства в различных направлениях.
Во многих задачах, связанных с вращающимися системами, угловая скорость вращения ω и момент импульса можно вычислить с помощью закона сохранения момента импульса.

Пример: скамья Жуковского, человек на вращающейся скамье держит в руках пару гантелей.
Пусть масса двух гантелей m и R1 таковы, что в первоначальный момент времени момент импульса человека Lч1 равен моменту импульса гантелей Lг1: Lч1= Lг1 (1).
Вращается с угловой
скоростью ω1.
Затем сжимает руки и
прижимает
гантели к себе:

Начальный момент импульса системы:
Т.к. Lч1= Lг1

Уравнение (7) делим на (8):
Уравнение (9) подставляем в (6):
Уравнение (4) подставляем в (10):

Аналогичная ситуация возникает, когда фигурист прижимает руки к себе и начинает вращаться быстрее.

Гироскоп – быстро вращающееся симметричное твердое тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве.
Происходит от греческого
Гироскоп

Свойства гироскопа проявляются у вращающихся небесных тел, снаряда (пули), роторов турбин, установленных на судах, волчка, юлы.
На свойствах гироскопа основаны различные приборы и устройства, применяемые в технике.
Свойства гироскопа проявляются при выполнении двух условий:
1. ось вращения гироскопа должна иметь возможность изменять своё положение в пространстве;
2. частота вращения гироскопа вокруг своей оси должна быть много больше скорости изменения направления оси в пространстве.

Для того чтобы ось гироскопа могла свободно поворачиваться в пространстве, его обычно закрепляют на кольцах, так называемая карданова подвеса.
Дискообразное тело – гироскоп закреплено на оси аа1 – ось гироскопа, которая может вращаться вокруг перпендикулярной ей горизонтальной оси bb1, которая, в свою очередь, может поворачиваться вокруг вертикальной оси dd1.
Все три оси пересекаются в одной точке, называемой центром подвеса. Такой гироскоп имеет 3 степени свободы и может совершать любой поворот около центра подвеса.
Силами трения в подшипниках и моментами импульса колец пренебрегаем.

Пока гироскоп неподвижен, его можно ориентировать в пространстве любым образом.
Если гироскоп начинает вращаться с большой угловой скоростью ω, то при отсутствии внешних сил (Fвнеш =0) М = 0 и т.е. ось гироскопа сохраняет свое положение в пространстве.

Если к оси гироскопа y приложить пару сил F, то возникает вращающий момент М.
Ось гироскопа поворачивается вокруг оси z,
а не вокруг х, как это могло показаться.
Это гироскопический эффект.

Гироскоп
Применение:
- навигационные устройства (гирокомпас, гирогоризонт),
- поддержание заданного направления движения (автопилот).
При конструировании судов и самолетов необходимо учитывать гироскопические силы, возникающие в подшипниках массивных валов двигателей, роторов турбин, гребных валов и т.п.

Динамика вращательного движения
абсолютно твёрдого тела относительно
неподвижной оси.
Основное уравнение
динамики вращательного движения

Моменты силы:
Закон сохранения момента импульса:

Момент импульса относительно точки 0 для i точки твёрдого тела:
Проекция на ось z относительно точки 0:

Твёрдое тело – система жёстко связанных материальных точек.

Закон сохранения момента импульса:
Т.к. координатную ось z приняли произвольно, индекс можно опустить.
– основное уравнение динамики вращательного движения.

В общем случае:
– ускорение вращения твердого тела относительно неподвижной оси прямо пропорционально моменту всех внешних сил относительно этой оси и обратно пропорционально моменту инерции твердого тела относительно этой оси.
Физический смысл:
Момент инерции относительно оси – мера инерции твердого тела при вращательном движении относительно оси.

Момент инерции.
Теорема Гюйгенса-Штейнера

Кольцо
Диск, цилиндр
Стержень
Шар

Теорема Гюйгенса-Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс J0, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между ними а2.

Пример: расчет момента инерции сплошного цилиндра радиуса R, высотой h.
Разобьем на полые цилиндры r, r + dr, dr→0.
dm – масса всего полого цилиндра.

Закон сохранения момента импульса АТТ
относительно неподвижной оси

Скамья Жуковского

Т.к. имеется АТТ, следовательно, для всех mi ω = const.
Кинетическая энергия
при вращательном движении АТТ

Основное уравнение динамики вращательного движения:
Закон сохранения момента импульса:
Кинетическая энергия при вращательном движении:
Работа и мощность
при вращательном движении
относительно неподвижной оси

Работа при вращательном движении идёт на увеличение его кинетической энергии:

Мощность:

Плоское движение – движение, при котором все участки траектории любых двух точек твёрдого тела лежат в параллельных плоскостях.
Кинетическая энергия складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения.
vc – скорость центра масс,
Jc – момент инерции относительно оси,
проходящей через центр масс.
Плоское движение твердого тела