Логарифмические уравнения (11 класс)

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
Определение логарифма
Об истории развития логарифмов Основные свойства логарифмов
(Формулы преобразования логарифмов)
О монотонности логарифмической функции
Логарифмические уравнения
Методы решения логарифмических уравнений
Этапы решения логарифмических уравнений
Проверь Проверь Проверь себя
Готовься к ЕГЭ

Определение
натуральным логарифмом
Далее см. интерактивный урок

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
Определение и свойства
логарифма
(смотри урок-фильм)
Для продолжения урока-фильма Меню - Control – Play (Ctrl+Enter)

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
Об истории развития логарифмов
Слово логарифм происходит от слияния греческих слов и переводится как отношений чисел, одно из которых является членом арифметической прогресс, а другое геометрической. Впервые это понятие ввел английский математик
Джон Непер. Кроме того, этот человек известен тем, что он первый изобрел таблицу логарифмов, которая пользовалась большой популярностью среди ученых на протяжении долгих лет.В таблицы Непера, изданные в книгах под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов» и «Устройство удивительной таблицы логарифмов», вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов углов от 0 до 99 градусов.
Первые таблицы десятичных логарифмов были составлены в 1617 г. английским математиком Бриггсом. Многие из них были выведены с помощью выведенной Бриггсом формулы.
Изобретатели логарифмов не ограничились созданием логарифмических таблиц, уже через 9 лет после их разработки в 1623 г. Английским математиком Гантером была создана первая логарифмическая линейка. Она стала рабочим инструментом для многих поколений. В настоящее время мы можем находить значения логарифмов, используя компьютер. Так, в языке программирования BASIC с помощью встроенной функции можно находить натуральные логарифмы чисел.

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
Слово ЛОГАРИФМ происходит от греческих слов λσγοϕ - число и αριυμοϕ - отношение
Гимназия № 8

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
Джон Непер (1550-1617)

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
Первые таблицы логарифмов назывались
«Описание удивительной таблицы логарифмов»
(1614 г.) и
«Устройство удивительной таблицы логарифмов»
(1619 г.)

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
Логарифмическая линейка

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
Логарифм можно найти теперь с помощью ПК LOG(x) - встроенная функция языка программирования BASIC, возвращает ln x
1) x = LOG(2.7)
PRINT x
Ответ: .993124…
2) x = LOG(1)
PRINT x
Ответ: 0
3) x %= LOG(2.7)
PRINT x
Ответ: 1

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
Основные свойства логарифмов
Если k=2n, то
Формулы за работой

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
Область определения
Область изменения
О монотон-ности логарифми-ческой функции

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
Уравнение вида
logaf(x) = logag(x)
(или сводящееся к этому виду)
называют логарифмическим

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
Если f(x)>0 и g(x)>0, a>0 и a ≠ 1, то уравнение logaf(x) = logag(x)
равносильно уравнению
f(x)=g(x)
Теорема о корне
Пусть функция f(x) возрастает (или убывает) на промежутке Х, число a – любое значение функции на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень в промежутке Х.
Решая уравнение, следует помнить также теорему о корне

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
4) Сколько корней имеет уравнение?
Вариант 1 Вариант 2
Ответ

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
Методы решения логарифмических уравнений:
1. Потенцирование
Пример 1 Пример 1 Пример 2 Пример 1 Пример 2 Пример 3Пример 1 Пример 2 Пример 3 Пример 4
2. Введение новой переменной
Пример 1
3. Переход к новому основанию
Пример 1
4. Разные методы решения
Пример 1 Пример 1 Пример Пример 1 Пример 2
Для продолжения решения: Меню - Control - Play
Для продолжения решения: Меню - Control - Play
Для продолжения решения: Меню - Control - Play
Для продолжения решения: Меню - Control - Play

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
Этапы решения уравнения
Найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной
Решить уравнение, выбрав метод решения
Проверить найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение или выяснить, удовлетворяют ли они условиям ОДЗ
Посмотри еще один подход к решению логарифмического уравнения

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
Вычисли устно:
-2
3
1/2
9
27
=
=
Ответы (щелкни)

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
Реши устно уравнения:
X=27
X=27
X=27
X=8
X=2
Ответы (щелкни)

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
1) Сравни с 1 log10991098
2) Сравни с 1 log296297
меньше 1
больше 1
3) Графики уравнений отличаются или совпадают?
Ответ:
отличаются
В ОДЗ 1-го уравнения не входит точка х=0, (точка «выколота»).
Ответы (щелкни)

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
4) Сколько корней имеет уравнение?
Вариант 1 Вариант 2
Ответ

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
4) Сколько корней имеет уравнение?
В1 В2
= 1,2
1
-1
Y=1,2
Y=log2 x
y
x
y=log2 x
Y=1,2
Y=log2 x
-1
1
Ответ: 2
Ответ: 4

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
http://www.eurekahttp://www.eurekanethttp://www.eurekanet.ru
http://www.college.ru
http://www.http://www.EGE.http://www.EGE.ru
Выход
http://www.http://www.mediahouse.http://www.mediahouse.ru

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
Формулы преобразования логарифмов
и их использование при решении задач
Примеры 1
Примеры 2
Для продолжения фильма: Ctrl + Enter

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
Для прослушивания речевых комментариев необходимо иметь наушники или колонки, иначе электронный материал утрачивает смысл.
Если при запуске интерактивных программных файлов появится сообщение
Выход
выбрать «Да».
Внимание!

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
Существует несколько методических подходов к решению логарифмических уравнений. Особенно популярным является первый подход, указанный выше.
Автор учебника «Алгебра и начала анализа 10-11» А.Г. Мордкович сравнивает разные подходы к решению:
«... Второй подход заключается в следующем: не находят ОДЗ, а сразу решают уравнение f (х) = g (x). Затем все найденные корни проверяют непосредственной их подстановкой в исходное уравнение.
Чем плох первый подход? Тем, что иногда решение системы неравенств, определяющей ОДЗ уравнения, бывает весьма затруднительным, отвлекающим от основной работы — от решения уравнения. При этом часто бывает так, что уравнение
f (x) = g (x) вообще не имеет корней, так что вся работа по опережающему отысканию ОДЗ оказывается пустой тратой времени.
Бывает и так, что указанное уравнение имеет настолько простые корни, что их проверка подстановкой в исходное уравнение осуществляется легко и быстро. В таких случаях предпочтительнее второй подход.
Далее

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
А чем плох второй подход? Тем, что мы рискуем "нарваться" на проверку подстановкой "плохих" корней. В этом случае предпочтительнее первый подход.
Хотя второй подход предпочтительнее по идейным соображениям. В принципе сначала нужно решить уравнение, затем сделать проверку. А при первом подходе, еще ничего не сделав для собственно решения уравнения, мы начинаем "подстилать соломку", находить ОДЗ, думая о возможном появлении посторонних корней и о необходимости их отсева.
Мы отдаем предпочтение третьему подходу, который, на наш взгляд, нивелирует недостатки, как первого, так и второго подходов.
План решения уравнения loga f (х) = loga g (x) заключается в следующем:
решаем уравнение f (х) = g (x); если уравнение имеет корни, то делаем проверку. Для этого составляем систему неравенств:
но не решаем ее, а проверяем найденные корни уравнения подстановкой в неравенства системы (что значительно проще).
Но, вообще говоря, тактика решения логарифмического уравнения может быть достаточно гибкой: если ОДЗ можно найти без труда, выбирайте первый подход; если с ОДЗ много возни, то выбирайте третий подход (или второй — в случае очень простых корней).»
Далее

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
Еще раз о третьем подходе к решению логарифмических уравнений
(«Готовимся к ЕГЭ» В.Н. Студенецкая)

Гимназия № 8, г. Сочи
Чернобабова К.В.
НЕПЕР Джон (1550-1617), шотландский математик, изобретатель логарифмов.
Потомок старинного воинственного шотландского рода. Изучал логику, теологию, право, физику, математику, этику. Увлекался алхимией и астрологией. Изобрел несколько полезных сельскохозяйственных орудий. В 1590-х годах пришел к идее логарифмических вычислений и составил первые таблицы логарифмов, однако свой знаменитый труд "Описание удивительных таблиц логарифмов" опубликовал лишь в 1614 году. В конце 1620-х годов была изобретена логарифмическая линейка, счетный инструмент, использующий таблицы Непера для упрощения вычислений. С помощью логарифмической линейки операции над числами заменяются операциями над логарифмами этих чисел.
www.km.ru