Логические основы цифровых устройств

Дискретные электронные устройства (ДЭУ) предназначены для приёма, преобразования и передачи электрических сигналов, по­лученных путём квантования по времени и/или уровню исходной аналоговой функции х(t).
Действующие в них сигналы пропорциональны конечному числу выбранных по определённому закону значений реальной физической величины, отображае­мой в виде различных параметров импульсов или перепадов сигнала, но так как информация о её изменении может быть получена только при сравнении двух импульсов, полу- нс такой информации растягивается во времени. Следовательно,, для получения полной информации о конеч­ном во времени физическом процессе необходимо бесконечное число импульсов, т. е. временные масштабы протекания физиче­ского процесса и его отображения при помощи импульсов не со­впадают. Поэтому в ДЭУ используется только часть информации о реальной физической величине, т. е. процесс представления ин­формации сопряжён с частичной ее потерей.
Квантованием наз. процесс замены непрерывного сигнала его дискретными зна­чениями в отдельных точках

Электрическим импульсом наз. кратковременное периодически повторяющееся отклонение напряже­ния u(t) или тока i(t) от установившегося значения.
Перепадами напряжения или тока наз. быстрое изменение u(t) или i(t) между двумя постоянными уровнями.
Величина f=1/T наз. частотой следования импульсов;
tn = длительность паузы между импульсами; K3 = tи /T — коэффициент заполнения импульсов; у= T/tи— скважность импульсов.
Периодически повторяющиеся перепады напря­жения с производными dufdt различных знаков (положительные duldt>0 и отрицательные du/fdt<0 перепады) образуют импульсы прямоугольной формы. В частном случае, когда положительные и отрицательные перепады следуют через равные промежутки вре­мени, напряжение прямоугольной формы называют меандром.

Импульсные электронные устройства (ИЭУ) реализуют кван­тование исходного сигнала х(t) по времени и преоб­разуют его в последовательность импульсов, как правило, неиз­менной частоты.
В ИЭУ хотя и нарушается непрерыв­ность представления сигналов (информация) во времени, сами значения для выбранных моментов времени точно соответствуют значениям х(t), т. е. непрерывность сигнала по величине сохра­няется.
По типу квантования сигнала ДЭУ де­лят на три подкласса: импульсные, релейные и цифровые.

а — изменение исходной аналоговой величины; б — последовательность амплнтудно-модулирояаияых b - импульсов: в — последовательность широтно-модулированных импульсов; г — последовательность фазо-модулированных импульсов
Виды импульсной модуляции
Импульсные электронные устройства реализуют квантование исходного сигнала х(t)) по времени и преобразуют его в последовательность импульсов, как правило, неизменной частоты. В ИЭУ хотя и нарушается непрерывность представления сигналов (информация) во времени, сами значения для выбранных моментов времени точно соответствуют значениям х(t), т. е. непрерывность сигнала по величине сохраняется.

Кван­тование исходного сигнала х(t) по времени (импульсные устройства)
Кван­тование исходного сигнала х(t) по уровню (релейные устройства)

Цифровые электронные устройства (ЦЭУ) реализуют кванто­вание исходного сигнала х(/) как по времени, так и по величине. Поэтому в фиксированные моменты времени такие сигналы только приближенно соответствуют значениям Очевидно, чем больше дискретных значений, которые может принимать сигнал, т. е. чем больше уровней дискретизации, тем точнее соответствует дискрет­ный сигнал аналоговому. Однако в любом случае мы имеем дело с конечным числом его значений. Таким образом, в дискретном сигнале нарушена непрерывность представления информации как по величине, так и во времени.
В свою очередь, конечному числу дискретных значений исход­ной физической величины можно поставить в соответствие неко­торое число. Процесс замены дискретных уровней сигнала после­довательностью чисел носит название кодирования, а совокупность полученных чисел называется кодом сигнала. Таким образом, процесс непосредственного преобразования и передачи сигналов можно заменить процессом преобразования и передачи кодов, по­ставленных в соответствие исходным сигналам.
Устройства, занимающиеся формированием, преобразованием и передачей кодов, поставленных в соответствие реальным значе­ниям физических переменных, называют цифровыми устройствами. Передача кодов, каждый из которых, как правило, представляется некоторой последовательностью однотипных импульсов, требует некоторого времени. Очевидно, что это время больше времени, необходимого для передачи той же информации в импульсной и 1ем более непрерывной системах. Поэтому при прочих pamtux условиях количество информации, передаваемой цифровым спосо­бом, минимально.

Релейные электронные устройства (РЭУ) реализуют квантова­ние исходного сигнала x(t) по уровню и Преобразуют его в сту­пенчатую функцию, высота каждой из ступенек которой пропор­циональна некоторой наперед заданной величине/t (см. рис. 1.4,в). Изменение уровня сигнала происходит в произвольные моменты времени, определяемые только заданными уровнями nh и величи­ной x(t), Поэтому аналогично с ИЭУ в моменты формирования ступенек сигнал РЭУ точно отражает значение исходной x(t). Следовательно, при дискретизации представления по величине в РЭУ сохраняется непрерывность отображения информации во вре­мени.
Основная область применения РЭУ связана не с преобразова­нием информации, а с преобразованием энергии, т. е. с силовой электроникой По сравнению с ИЭУ они, как правило, проще (от­сутствует импульсный модулятор) и обладают большим быстро­действием.

Достоинства ЦЭУ: высокая помехоустойчивость; высокая на дежность; возможность длительного хранения информации без ее потери; экономическая эффективность, обусловленная высокой 1ехнологичностью и повторяемостью устройств; энергетическая эф­фективность, а также совместимость с интегральной технологией.
Недостатки ЦЭУ: малое быстродействие; малая точность.
Однако меньшее быстродействие цифровых устройств с лихвой окупается возможностью унификации самих цифровых элементов, что позволяет с помощью их большого количества успешно решать вопросы повышения точности и быстродействия ЦЭУ.
Минимально возможный объем, который может занимать ЭУ, к конечном счете определяется количеством теплоты, выделяемой в этом объеме. Поэтому использование дискретных ^методов обра­ботки информации позволяет реализовать ДЭУ в значительно меньшем объеме, чем в случае аналоговой информации.
Ранее мы отметили, что способность реализации сложных алго­ритмов обработки информации в минимальных объемах с мини­мальными затратами и высокой надежностью работы является основной причиной повсеместного использования электронных >стройств Сказанному в полной мере отвечают цифровые элек­тронные устройства, которые, несмотря на меньшие быстродей­ствие и точность по сравнению с другими рассмотренными ти­пами ЭУ, получают в настоящее время все большее распростра­нение.

Цифровыми наз. устройства формирования, преобразования и передачи кодовых слов.
Кодом наз. систему символов представления информации, удобную для обработки, хранения и передачи (число в десятичной или двоичной системе счисления).
В цифровой технике для записи кодовых символов, или просто кода, используют две цифры: 0 и 1 (сигналы с двумя уровнями напряжения: высоким и низким).
Современные устройства цифровой обработки информации используют: числа и логические переменные.
Числа - количественные характеристике процесса, объекта, системы, над ними можно производить арифметические действия.
Логические переменные определяют состояние системы или принадлежность её к определённому классу состояний.
Преобразователи кодов служат для перевода одной формы бинарного чи­сла (кодовой комбинации) в другую, например, преобразование двоично-десятичного кода в семисегментный код индикатора. Входные и выходные коды преобразователей связаны между собой. Эту связь задают логическими функциями или в виде таблицы переключений.

Цифровые методы передачи информации по сравнению с
другими имеют ряд преимуществ. Главными из них являются следующие:
1) приём сигнала сводится не к измерению, а к обнаружению 1 или 0;
2) сообщения в цифровой форме легко обрабатываются, запоминаются,
коммутируются и регистрируются;
3) возможна многократная передача без накопления ошибок;
4) применение помехоустойчивого кодирования позволяет значительно
увеличить достоверность передачи телемеханических сообщений;
5) упрощаются требования, предъявляемые к радиолиниям в отношении калибровки эталонных уровней;
6) улучшается использование канала связи в случае применения специальных кодов, статистически согласованных с передаваемыми сообщениями.
Под кодированием в широком смысле понимается переход от одного
способа задания информации к другому, допускающий восстановление исход-
ной информации. Теория кодирования получила большое развитие, начиная с
40-х годов ХХ века после работ К.Шеннона.
В данном конспекте большое внимание уделено теоретическим основам
построения кодовых комбинаций, а также преобразованию кода передаваемой
и обрабатываемой информации с сохранением его числового эквивалента.
Преобразование может осуществляться программным или аппаратным способом.
Целями кодирования сообщений обычно являются:
1) передача по общему каналу связи нескольких или многих сообщений
для кодового разделения сигналов;
2) повышение помехоустойчивости и достоверности передачи сообщений;
3) более экономное использование полосы частот канала связи, т.е.
уменьшение избыточности;
4) уменьшение стоимости передачи и хранения сообщений;
5) обеспечение скрытности передачи и хранения информации;
6) преобразование любой информации независимо от ее происхождения и
назначения в единую систему символов;
7) приведение исходных символов в соответствие с характеристиками канала связи.

Существующие системы счисления подразделяются на позици­онные и непозиционные. В непозиционных системах значение кон­кретной цифры постоянно у не зависит от ее расположения в за­писи числа.
Число q наз. основанием системы счисления, может быть как целым, так и дробным. Если в выражении (14.1) отбросить весовые коэффициенты q' и соответствующие знаки сложения, то получим сокращенную за­пись числа, носящую название q-ичного кода числа Х„. Номер позиции цифры , называют его разрядом. Разряды с положи­тельными степенями q образуют целую часть числа Хq, с отрица­тельными степенями — дробную. Цифры
соответственно являются старшим и младшим разрядами числа.

Количество различных чисел, которое может быть записано в позиционной системе счисления с основанием q при заданном чис­ле разрядов:
Количество разрядов, необходимое для записи в позиционной системе счисления с основанием q некоторого числа X, можно оп- ределить из следующих соображений. Для запи­си числа X в системе с основанием q должно выполняться усло­вие
Тогда
В цифровой технике нашли применение только позиционные системы счисления.

1110110011

Число символов в кодовом слове цифрового устройства фиксировано, т.е. кодовые слова имеют одинаковую длину.
Если кодовое слово имеет п символов (разрядов), то из них можно составить N = 2n комбинаций кодовых слов. Например, в 32-разрядном вычислительном устройстве можно закодировать 232 = 4 296 967 298 слов.
Для оценки количества цифровой информации используют бит и байт (1 байт = 8 бит).
Функционирование цифровых устройств можно представить следующим образом:
посредством генератора тактовых импульсов производится синхронизация начала выполнения отдельных операций преобразования входного кодового слова и отводится время выполнения команды (в течение одного или нескольких периодов тактовых импульсов);
после активизации начала операции осуществляется преобразование всех входных кодовых слов (логических нулей и единиц) в требуемые выходные кодовые слова;
выходные кодовые слова отправляются на хранение в память цифрового устройства и/или во внешние устройства для выполнения определённых действий.

Переход от системы счисления с большим основанием к систе­ме счисления с меньшим основанием выполняется с соблюдением следующих правил:
а) целая часть исходного числа делится на основание новой системы счисления;
б) дробная часть исходного числа умножается на основание новой системы счисления. Преобразуем число 25,12 в двоично-десятичную систему

В качестве математического аппарата для функций и аргументов, принимающих только два значения — 0 и 1, используется двоичная (булева) алгебра — алгебра логики.
Логическими (булевыми, двоичными) переменными (аргументами, высказываниями) в двоичной алгебре называются величины, которые независимо от их конкретной физической сущности могут принимать только два значения — 0 и 1.

Самые современные и мощные микропроцессоры (компьютеры) из перечня арифметических операций способны выполнять только опе­рацию сложения, то есть все их действия сводятся к суммированию.
Основной арифметической операцией, которая используется в цифровой технике, является сложение двоичных чисел, а к нему приводятся другие — вы­читание, умножение, деление.
Двоичные числа складываются так же, как и десятичные: 02 + 02 = 02; 02 + 12 = 1 2; 12+ 02 = 12; 12+12= 102. Для «удобства» ЦВМ, в последнем случае, записывается 0 от 10, а 1 оставляется в «уме машины» для переноса в первый разряд. Последнее сложение записывается и читается так: «1 + 1 = 0 плюс перенос 1». При сложении многоразрядных чисел эта перенесён­ная единица находит своё место. Вычитание
Положим, что из 10102 надо вычесть 01112, что равносильно 1010 — 710 =З10). Алгоритм вычисления таков: сначала двоичное вычитаемое число прямого кода [A]n = 01112 записывается в форме обратного кода [А]д = 10002 (в обратном коде все 1 прямого кода заменяются на 0, а 0 — на 1). Результат обратного кода складыва­ется с уменьшаемым, то есть 10102 + [А]д = 10102 + 10002 =100102 и получают промежуточное число 100102. После этого произво­дится перенос 1 из высшего разряда (отмечен жирным курсивом) промежуточного числа, и она складывается с содержимым млад­шего разряда, то есть 00102 + 12 = 00112. Заметив, что произведён­ный перенос 1 называется циклическим переносом, резюмируем, что полученное число 00112, равное З10, и есть искомый результат вычитания. Изложенный алгоритм вычитания не удобен для че­ловека, однако, он «удобен» для ЦВМ.
Операции умножения и деления также приводятся к сложению

Операции над кодовыми словами, представленными в виде электрических сигналов, в цифровом устройстве могут выполняться следующими двумя способами:
последовательное (поразрядное, побитовое) выполнение операций, при котором символы 1 и 0 кодового слова поступают последовательно по времени на единственный вход цифрового устройства и по завершении операции последовательно символ за символом выводятся из него. На рис. 5.1, а показано выполнение операции цифровым устройством ЦУ (инвертором) над трехразрядным входным словом х2х1х0 = 100, при котором биты выходного слова у2у1у0 = 011 принимают противоположные значения;
параллельное выполнение операций, при котором символы 1 и 0 кодового слова поступают одновременно на три входа ЦУ и по завершении операции одновременно выводятся из него (рис. 5.1, б).
В ряде случаев используют комбинированные способы обработки информации: с последовательным вводом и параллельным выводом (рис. 5.1, в) и с параллельным вводом и последовательным выводом (рис. 5.1, г)

последовательное (поразрядное, побитовое) выполнение операций
параллельное выполнение операций
последовательный ввод и параллельный вывод
Параллельный ввод и параллельный вывод

Логический элемент ИЛИ моделирует операцию логического сложения, или, как ее еще называют, операцию дизъюнкции. Алгебраически эта операция записывается следующим образом:
А+В=С или А\/ В=С. Буквами А и В обозначены простые высказывания, или двоичные переменные, буквой С — сложное высказывание, или переключательная функция. Последнее название показывает, что функция зависит от переключений переменных А и В. Если простые высказывания соединены союзом «или», то сложное высказывание истинно, если истинно хотя бы одно из простых высказываний. Соответственно, С должно равняться 1, если А или В равны 1 по отдельности или одновременно. Зависимость между двоичными переменными А и В и переключательной функцией С может быть задана в виде таблицы истинности, в ней написаны условия истинности сложного высказывания в зависимости от истинности простых высказываний.

Логический элемент И выполняет операцию логического умножения, или конъюнкции. Алгебраически эта операция записывается следующим образом: С=А*В или С=А/\В, при этом С= 1 только в том случае, если А и В одновременно равны 1. Эти правила можно записать в виде следующей таблицы:
Сравнив таблицы истинности логических элементов И и ИЛИ, легко заметить, что из одной таблицы легко получить другую, если заменить единицы нулями и нули единицами.

Логический элемент НЕ выполняет операцию отрицания, или | инверсии, алгебраически она записывается следующим образом: I С=А, при этом на выходе будет сигнал 1, если на входе имеется I сигнал 0 и, наоборот, выходной сигнал равен 0 при входном сигна|ле 1. Работа элемента НЕ записывается в виде следующей таблицы:

Функция "И" равна единице, если равны единице ВСЕ ее аргументы. Функция "ИЛИ" равна единице, если равен единице ХОТЯ БЫ один аргумент. Функция "ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ" (XOR) равна единице, если равен единице ТОЛЬКО один ее аргумент.
Есть мужчины (М) и женщины (Ж)
у МЖ и ЖМ могут быть дети,
у ММ и ЖЖ нет!
Для двух значений результатом исключающего или будет единица, если начальные значения разные, и ноль, если одинкаовые:

Булевые (переключательные) функции бывают комбинацион­ными и временными.
Комбинационными наз. функции, значение которых одно­значно определяется значениями их аргументов. Комбинационные функции иногда называют функциями без памя­ти, подчеркивая отсутствие в них свойства запоминания информации. Это означает, что после того, как изменение аргументов прекращает­ся, тот факт, что они имели другое, чем в данный момент, значение уже не может влиять на формирование значения переключательной функ­ции. Комбинационная функция «забывает» старые аргументы и может реагировать только на значения новых.
Схемы, реализующие комбинационные функции, называются ком­бинационными (КС).
Временными (функциями с памятью) наз. функции, значения которых определя­ются как значениями аргументов в данный момент времени, так и другими параметрами, прежде всего временем, поэтому при одних и тех же значениях аргументов значение временной функции может быть разным.
Временные функции делят на:
-- временные булевы функции (ВБФ) типа
Значение этой функции при одних и тех же значениях аргументов зависит от момента времени, т. е. в различные моменты времени реа­лизуются различные комбинационные булевы функции;
-- рекуррентные булевы функции первого рода (РБФ-1) типа
--рекуррентные булевы функции второго рода (РБФ-2) типа