Логика высказываний

Логические представления – описание системы, процесса или явления в виде совокупности сложных высказываний, составленных из простых (элементарных) высказываний и логических связок между ними.
Логические представления и их составляющие характеризуются определёнными свойствами и набором допустимых преобразований, реализующих правильные методы рассуждений – законы логики, разработанные в формальной (математической) логике.

Математическая логика изучает способы (правила) формального представления высказываний, построения новых высказываний из имеющихся с помощью логически выраженных преобразований, а также способы (методы) установления истинности или ложности высказываний.
алгебра логики
логические исчисления
способы построения логики
логика
высказываний
логика
предикатов

Основными объектами разделов логики являются высказывания.
Высказывание – последовательное предложение (утверждение, суждение), о котором можно говорить, что оно истинно или ложно. Для того, чтобы оперировать высказываниями, необходимо знать их истинное значение (истинность).

4.1. Основные понятия.
Простое (элементарное) высказывание – рассматривается как неделимое целое. Обычно это высказывания не содержащие логических связок.
Сложное (составное) высказывание – составляется из простых с помощью логических связок.
«и», «или», «не», «если … то …»,
«либо … либо …» (в разделительном смысле), «тогда и только тогда»
и др.

Основные логические связки (операции) логики высказываний:
Конъюнкция (операция «И», логическое произведение)
- P&Q, P∧Q, P∙Q
- «P и Q»
Дизъюнкция (операция «ИЛИ», логическая сумма)
-P∨Q, P+Q
- «P или Q»
- понимается как неразделительное «или»

Отрицание (инверсия)
- P, P
- «не P», «неверно, что P»
Импликация (логическое следование)
- P→Q, P⊂Q
- «если P, то Q», «P влечет Q», «из P следует Q»
- P-посылка импликации, Q-заключение
Эквивалентность (равнозначность)
- P∼Q, P≡Q, P↔Q
- «P эквивалентно Q», «P, если и только если Q»

Неравнозначность (исключающее «ИЛИ»)
- P⊕Q, P∆Q
- «либо P, либо Q», «или P, или Q»
- понимаются в разделительном смысле
Алфавит логики высказываний – буквы, обозначающие высказывания, логические связки, скобки.
Логическая формула – выражение, составленное из обозначений высказываний, связок и скобок ,удовлетворяющие условиям:
любая переменная, обозначающая высказывание, - формула;
если A и B – формулы, то (A∧B), (A∨B), A, A→B, A↔B, A⊕B – формулы;
других формул нет.

Пример 1.
Представить логическими формулами следующие высказывания:
Сегодня понедельник или вторник.
Идёт дождь или снег.
Если идёт дождь, то крыши мокрые. Дождя нет, а крыши мокрые.
Что в лоб, что по лбу.
A⊕B
A∨B
(A→B)&(A&B)
A∼B

Пример 2.
Записать логическими формулами следующие высказывания:
Если допоздна работаешь с компьютером и при этом пьёшь много кофе, то утром просыпаешься в дурном расположении духа или с головной болью.
Если исследования показывают, что потребитель отдаёт предпочтение удобству и многообразию выбора, то фирме следует сделать упор на усовершенствование товара или увеличение многообразия новых форм.
(X&Y)→(A∨B).
42=16 различных логических интерпретаций.