Модели в виде систем одновременных уравнений

Проблемы построения моделей из одновременных уравнений
Авторегрессия
Рассмотрим элементарную макроэкономическую модель
В приведенной форме модель (1.1) имеет вид
(1.1)
(1.2)
Из (1.2) видно, что COV(Yt,ut)≠0

Проблемы построения моделей из одновременных уравнений
2. Проблема идентификации уравнений
Пример. Имеем элементарную модель конкурентного рынка
(2.1)
По результатам наблюдений необходимо получить оценки параметров a0, a1, b0, b1
Что доступно для наблюдений? Равновесная цена p*t и соответствующие ей уровни спроса и предложения, причем Yst=Ydt=Y*t

Проблема идентификации уравнений
pt
yt
yd
ys
E0
Графически это выглядит так
p*t
y*t
Из приведенной формы уравнений модели видно

Проблема идентификации уравнений
Вопрос. Как преодолеть эту проблему?
Вспомним, что на спрос влияет располагаемый доход
(2.2)
Что это дает?
yt
pt
p*t(x1)
p*t(x2)
y*t(x1)
y*t(x2)
E1
E2
ys
yd2
yd1

Проблема идентификации уравнений
Вывод. Введение в первое уравнение системы (2.1) дополнительной экзогенной переменной xt привело к тому, что второе уравнение стало идентифицируемо.
Правило. Для устранения проблемы идентификации необходимо:
1. Дополнить уравнения системы дополнительными предопределенными переменными
2. Дополнительные переменные включаются в уравнения смежные с неидентифицируемыми
Идентифицируемая модель конкурентного рынка
(2.3)

Проблема идентификации уравнений
Остаются вопросы:
1. Как определить, какие уравнения в модели являются неидентифицируемые
2. Как определить, какие уравнения в модели идентифицируемые

Проблема идентификации уравнений
Ответ на первый вопрос дает теорема, которая имеет название «правило порядка» и формулирует необходимое условие идентифицируемости i-го уравнения модели
Общий вид каждого уравнение модели в структурной форме можно записать как:
где: G – количество эндогенных переменных в модели
K – количество предопределенных переменных в модели
(2.4)

Проблема идентификации уравнений
Необходимое условие идентифицируемости
Теорема 1. Пусть i-ое уравнение модели (2.4) идентифицируемо. Тогда справедливо неравенство
Mi (пред) ≥ G – Mi (энд) – 1. (2.5)
В нём:
Mi (пред) – количество предопределённых переменных модели, не включённых в i-ое уравнение; Mi (энд) – количество эндогенных переменных модели, не включённых в i-ое уравнение.

Проблема идентификации уравнений
Замечание. Справедливость неравенства (2.5) является необходимым условием идентифицируемости i-го уравнения. Это значит, что, когда неравенство (2.5) несправедливо, то i-ое уравнение заведомо неидентифицируемо. Однако при выполнении неравенства (2.5) ещё нельзя сделать вывод о идентифицируемости данного уравнения.
Условие (2.5), именуемое правилом порядка, позволяет выявлять неидентифицируемые уравнения модели, но не даёт возможности отмечать её идентифицируемые уравнения.
Определение неидентифицируемых уравнений производится методом «от противного»: если условие (2.5) не выполняется для i-го уравнения, то оно неидентифицируемо

Проблема идентификации уравнений
Задача. Показать, что оба уравнения модели (2.3) не являются неидентифицируемыми
(2.3)
Здесь:
(ydt, yst,pt) – эндогенные переменные (G=3)
(1, xt, pt-1) – предопределенные переменные (K=3)
Для первого уравнения: М(пред)=1, М(энд)=1, М(пред)=G-М(энд)-1
Для второго уравнения: М(пред)=1, М(энд)=2, М(пред)>G-М(энд)-1 (1>3-2-1)

Проблема идентификации уравнений
Введем еще несколько понятий, связанных с уравнением (2.4)
- Набор переменных модели
Матрица A = (aij) является не вырожденной и будем считать, что любое уравнение (2.4) может быть решено относительно yi и приведено к нормализованному виду (ai=1)
Определение. Ограничениями называется система из Li линейных однородных алгебраических уравнений
которым априорно удовлетворяет вектор набора переменных (2.6) коэффициентов i-го уравнения
(2.7)
(2.6)

Проблема идентификации уравнений
Пример. Модель конкурентного рынка (2.3)
(2.3)
Коэффициенты её первого уравнения, такие:
a11 = 1, a12 = 0, a13 = -a1, b11 = -a0, b12 = -a2 . Следовательно, вектор этих коэффициентов
a1=(1, 0, -a1, -a0, -a2)T
заведомо удовлетворяет одному (L1 = 1) ограничению
которое можно представить в форме линейного однородного уравнения (2.7) относительно компонентов вектора (2.6) с матрицей R1 = (0, 1, 0, 0, 0)
(2.8)

Проблема идентификации уравнений
Обозначим символом Ā расширенную матрицу коэффициентов структурной формы модели
(2.8)
Теорема. (Правило ранга) i-ое уравнение модели (2.4) идентифицируемо тогда и только тогда, когда справедливо равенство
(2.9)
В нём символом rk обозначен ранг произведения матриц (2.8) и RiT
Условие (2.9) является необходимым и достаточным для идентифицируемости i-го уравнения модели

Проблема идентификации уравнений
Пример. Проиллюстрируем процедуру использования критерия (2.9) на примере уравнений модели (2.11).
Ее расширенная матрица
(2.11)
(2.10)
Отметим, что для третьего уравнения модели (2.3) условие нормализации не выполняется. Однако это уравнение является тождеством, к которому проблема идентификации не имеет отношение.

Проблема идентификации уравнений
Для первого уравнения модели (2.11) :
Вычисляем значение критерия (2.9)
(2.12)
Проверяем условие (2.9): rk=G-1 1≠3-1=2, следовательно, первое уравнение модели (2.11) неидентифицируемо

Проблема идентификации уравнений
Для второго уравнения модели (2.11) имеем:
Вычисляем значение критерия (2.9)
Проверка условия (2.9): rk=G-1 2=3-1=2, следовательно, второе уравнение модели (2.11) идентифицируемо