Моделирование и формализация. Разработка и исследование математических моделей на компьютере

Моделирование – это метод познания, состоящий в создании и исследовании моделей.
Модель – это некий новый объект, который отражает существенные особенности изучаемого объекта, явления или процесса.
Один и тот же объект может иметь множество моделей, а разные объекты могут описываться одной моделью.

Модели – упрощенное подобие реального объекта
Информационные модели
Натуральные модели
Формализация – замена натурального объекта его моделью

Натуральные или материальные модели

Информационные модели
Табличная информационная модель
Иерархическая информационная модель
Сетевая информационная модель

В табличной информационной модели перечень
однотипных объектов или свойств размещен в
первом столбце (или строке) таблицы, а значения
их свойств размещаются в следующих столбцах
(или строках) таблицы.

В иерархической информационной модели объекты
распределены по уровням. Каждый элемент более
высокого уровня может состоять из элементов нижнего
уровня, а элемент нижнего уровня может входить в
состав только одного элемента более высокого уровня.
Компьютеры
Суперкомпьютеры
Серверы
Персональные
компьютеры
Настольные
Портативные
Карманные

Сетевые информационные модели применяются для отражения
систем со сложной структурой, в которых связи между элементами
имеют произвольный характер.

Модели, описывающие состояние системы в определенный момент времени, называются статическими информационными моделями.
Модели, описывающие процессы изменения и развития систем, называются динамическими информационными моделями.

С помощью формальных языков строятся формальные
информационные модели (математические, логические
и д.р.). Одним из наиболее широко используемых
формальных языков является математика.
Формальные информационные модели
Математические модели
Логические модели

Логическая схема полусумматора
И
ИЛИ
НЕ
И
А
В
Р=А&В

Математическая модель – это система математических соотношений –
формул, уравнений, неравенств и т.д., отражающих существенные свойства
объекта или явления.

Основные этапы разработки и исследования моделей на компьютере.
Создание описательной информационной модели.
Создание формализованной модели.
Преобразование формализованной модели в компьютерную модель.
Проведение компьютерного эксперимента.
Анализ полученных результатов и коррекция исследуемой модели.

Математические модели:
Приближенное решение уравнений
Определение экстремума функции
Вычисление площади криволинейной трапеции

a
b
c
f(x)
y
x
Метод половинного деления.

Н
a, b, e
f(x)
c= (a+b)/2
p=f(a)⋅f(c)
p>0
b=c
|b-a|>2e
X0=(a+b)/2
X0
К
a=c
да
нет
нет
PROGRAM KOREN;
VAR a, b, c, e, p, x0: REAL;
FUNCTION f (x: REAL): REAL;
BEGIN
f:=cos(x)-x;
END;
BEGIN
WRITE (‘Введите a, b, e’);
READLN (a, b, e);
WHILE ABS (b-a) > 2*e DO
BEGIN
c:= (a+b)/2;
p:= f(a)*f(с);
IF p>0 THEN a:=с ELSE b:=c;
END;
x0:= (a+b)/2;
WRITELN (‘x0=’, x0:10:6);
READLN;
END.

Cos(x) – x = 0

a
b
f(x)
y
x
x
x2
x1
f1
f2
Метод половинного деления.

Н
f(x)
a, b, e
|b-a|>2e
f1>f2
a=x
xm, fm
K
b=x
PROGRAM EXTRA;
VAR a, b, e, xm, fm, x, x1, x2, f1, f2: REAL;
FUNCTION f (x: REAL): REAL;
BEGIN
f:= - x*x – 9*x + 8;
END;
BEGIN
WRITE (‘введите a, b, e’);
READLN (a, b, e);
WHILE ABS (b – a) > 2*e DO
BEGIN
x:= (a+b)/2; x1:= x - e; x2:= x + e;
f1:= f(x1); f2:= f(x2);
IF f1>f2 THEN b:=x ELSE a:=x;
END;
xm:= (b+a)/2; fm:= f(xm);
WRITELN (‘xm=’, xm:10:6);
WRITELN (‘fm=’, fm:10:6);
READLN;
END.
да
нет

a
b
xi
f(x)
y
x
(xi ; yi)
Вычисление площади криволинейной трапеции.
Xi+1

H
f(x)
a, b, n
h=(b-a)/n
S=(f(a)+f(b))/2
i=1, n-1
x=a+h⋅i
S=S+f(x)
S=S⋅h
S
K
PROGRAM TRAPECYA;
VAR n, i: INTEGER;
a, b, h, x, y, s : REAL;
FUNCTION f (x: REAL): REAL;
BEGIN
f = sin (x);
END;
BEGIN
a:=0; b:=3.141592;
WRITELN (‘введите n’);
READLN (n);
h:= (b-a)/n;
s:= (f(a)+f(b))/2;
FOR i:=1 TO n - 1 DO
BEGIN x:= a + h*i; s:= s +f(x); END;
S:=s*h;
WRITELN (‘n’, n, ‘s’, s:10:6);
READLN;
END.

H
f(x)
a, b, n
h=(b-a)/N
S=(f(a)+f(b))/2
i=1, n-1
x=a+h⋅i
S=S+f(x)
S1=S1⋅h
S
K
PROGRAM TRAPECYA;
VAR n, i: INTEGER;
a, b, h, x, y, s, s1, s2, d, e: REAL;
FUNCTION f (x: REAL): REAL;
BEGIN f = sin (x); END;
PROCEDURE SUM;
BEGIN h:= (b-a)/n; s:= (f(a)+f(b))/2;
FOR i:=1 TO n - 1 DO
BEGIN x:= a + h*i; s:= s +f(x); END;
S:=s*h; WRITELN (‘n’, n, ‘s’, s:10:6);
END;
BEGIN
a:=0; b:=3.14159;
WRITELN (‘введите n’);
READLN (n);
SUM; s1:=s;
n:= n*2;SUM; s2:=s;
d:= (15/16)*ABS(s1-s2);
WRITELN (‘del’, d:10:6);
READLN;
END.
n=n*2;S2
d=(15/16)*ABS(S1-S2)

H
f(x)
a, b, e
d=1; n=5;
n=n*2; SUM;S2=s;
d=(15/16)*ABS(S1-S2);
S1=S2
d
K
PROGRAM TRAPECYA;
VAR n, i: INTEGER;
a, b, h, x, y, s, s1 , s2, d, e: REAL;
FUNCTION f (x: REAL): REAL;
BEGIN f := sin (x);END;
PROCEDURE SUM;
BEGIN h:= (b-a)/n; s:= (f(a)+f(b))/2;
FOR i:=1 TO n - 1 DO
BEGIN x:= a + h*i; s:= s +f(x); END;
S:=s*h; WRITELN (‘n’, n, ‘s’, s:10:6);
END;
BEGIN
a:=0; b:=3.14159; WRITELN (‘введите e’);
READLN (e); d:= 1; n:=5; SUM; s1:=s;
WHILE d>e DO
BEGIN
n:= n*2;SUM; s2:=s;
d:= (15/16)*ABS(s1-s2);
WRITELN (‘del’, d:10:6);
s1:=s2;
END;
READLN;
END.
S1
d>e

Вычисление площади криволинейной трапеции с заданной точностью

Определение погрешности вычисления интеграла