МОУ СОШ №5г. ЩербинкаВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ОКРУЖНОСТИ

ОКРУЖНОСТЬ
Окружностью называется фигура,
состоящая из всех точек плоскости,
находящихся от данной точки
на данном расстоянии.
Данная точка O называется центром окружности,
а отрезок OA, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности— радиусом окружности.
О
А
Свойство биссектрисы.
Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от сторон угла.
Верно и обратно.
Свойство серединного перпендикуляра.
Каждая точка серединного перпендикуляра
равноудалена от концов его отрезка.
Верно и обратно

Вписанная окружность
Окружность называется вписанной в угол,
если она лежит внутри угла и касается его сторон.
Центр окружности, вписанной в угол,
лежит на биссектрисе этого угла.
Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник,
если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых,
проходящих через его стороны.

Если в данный выпуклый многоугольник
можно вписать окружность,
то биссектрисы всех углов данного многоугольника
пересекаются в одной точке,
которая является центром вписанной окружности.
о
Сам многоугольник в таком случае называется
описанным около данной окружности.
Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.
Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность.
Для треугольника это всегда возможно.
R
O

Описанная окружность
Центр описанной окружности равноудалён
От вершин многоугольника и лежит на серединных перпендикулярах к его сторонам
Окружность называется описанной около многоугольника,
если она проходит через все его вершины.
Центр описанной окружности около треугольника,
лежит на пересечении серединных перпендикуляров,
проведённых к серединам сторон треугольника
оO
Вокруг любого треугольника можно описать окружность,
и только одну.
a
b
c
R
S - площадь треугольника.

Окружность и треугольники
Окружность называется вписанной в треугольник,
если она касается всех трех его сторон,
а её центр находится внутри окружности
Центр вписанной в треугольник окружности лежит
на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
Радиус вписанной в треугольник окружности
равен отношению площади треугольника и его полупериметра

Окружность и прямоугольный треугольник
Радиус вписанной окружности
а
с
b
o
r
a
b
c
R
O
Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы,
а радиус равен
– половине гипотенузы
- медиане, проведённой к гипотенузе

Вписанная окружность в четырёхугольник
а
b
c
d
O
r
В четырёхугольник можно вписать окружность,
если суммы противолежащих сторон равны т. е. a + c = b + d
Верно и обратно
Если окружность вписана в четырёхугольник,
то суммы противолежащих сторон равны
a + c = b + d
Площадь:
r – радиус вписанной окружности

Описанная окружность около четырёхугольника
α
β
γ
φ
Около четырёхугольника можно описать окружность,
если сумма противолежащих углов равна 180°: α + γ =β + φ
Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равна 180°.
a
b
c
d
d1
d2
ТЕОРЕМА ПТОЛОМЕЯ
Сумма произведений противолежащих сторон
равна произведению диагоналей: ac + bd = d1 d2
a
b
c
d
ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА
где р – полупериметр четырёхугольника

Параллелограмм, ромб, трапеция
Около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда,
когда он является прямоугольником;
Радиус описанной окружности
R
d
a
b
В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.
Радиус r вписанной окружности удовлетворяет соотношениям
S=2ar
r
h
d1
d2
a
Около трапеции можно описать окружность тогда
и только тогда, когда эта трапеция — равнобедренная;
Центр окружности лежит на пересечении оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне
R

r
r
r
r
А
В
Д
О
Если трапеция АВСД описана около окружности,
то треугольники АОВ и ДОС прямоугольные (угол О –прямой);
точка О – центр вписанной окружности.
Высоты этих треугольников опущены на гипотенузы,
равны радиусу вписанной окружности,
а высота трапеции равна диаметру вписанной окружности.
трапеция
С

Окружность и правильные многоугольники
Виды правильных многоугольников
Свойства правильного многоугольника.
Правильный многоугольник является вписанным в окружность и описанным около окружности,
при этом центры этих окружностей совпадают
Центр правильного многоугольника совпадает
с центрами вписанной и описанной окружностей.
О
r
R

Основные формулы для правильных многоугольников
R
r
an – сторона многоугольника;
R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности

Список литературы
Л. С. Атанасян Учебник геометрии 7-9 класс;
Энциклопедия по математике АВАНТА+;
Наглядный справочник по геометрии для 7-9 классов;
Интернет-ресурсы.
.