Непозиционные системы счисления

В непозиционных системах каждая цифра имеет свой вес и ее значение не зависит от положения в числе – от позиции.
Пример – римская система.
для прочтения числа нужно сложить все значения использованных цифр:
XXXV = 10+10+10+5 = 35;
CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

(иероглифы по порядку: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)
Здесь дважды использован иероглиф “2”, и в каждом случае он принимал разные значения “2000” и “20”.
2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

Алфавитные системы
Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились славянская, ионийская (греческая), финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита. Алфавитная система была принята и в древней Руси. Числа от 1 до 10 записывали так:

Над буквами, обозначавшими числа, ставился специальный знак титло.
Это делалось для того, чтобы отличить числа от обычных слов:
Интересно, что числа от 11 (один — на десять) до 19 (девять — на десять) записывали так же, как говорили, то есть «цифру» единиц ставили до «цифры» десятков. Если число не содержало десятков, то «цифру» десятков не писали. Удобны ли алфавитные системы?

Пример. Запишем в славянской записи числа 444 и 32:
Мы видим, что запись получилась не длиннее нашей десятичной. Это объясняется тем, что в алфавитных системах использовалось, по крайней мере, 27 «цифр». Но эти системы были удобны только для записи чисел до 1000.
Правда, славяне, как и греки, умели записывать числа и большие 1000. Для этого к алфавитной системе добавляли новые обозначения. Так, например, числа 1000, 2000, 3000... записывали теми же «цифрами», что и 1, 2, 3..., только перед «цифрой» ставили слева снизу специальный знак:

Число 10000 обозначалось той же буквой-что и 1, только без титла, ее обводили кружком:
Называлось это число «тьмой».
Отсюда и произошло выражение «тьма
народу».

«Цифры» различных систем счисления
Вы уже познакомились с некоторыми системами счисления, которые существовали до наших времен. В каждой системе счисления использовались свои символы для записи чисел, которые мы называем «цифрами».
В палочной системе счисления использовался единствен­ный символ «палочка», то есть единственная цифра - 1.
В древнеегипетской непозиционной десятичной системе счисления использовались следующие «цифры»:
В вавилонской шестидесятеричной системе счисления основанной на позиционном принципе, использовалось два символа, два вида клиньев - и , которые и являются «цифрами» в этой системе счисления.

В римской непозиционной системе счисления в качестве «цифр» использовались следующие заглавные латинские буквы:

Знакомая нам римская система принципиально ненамного отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, С, D и М (соответственно), являющиеся «цифрами» этой системы счисления.
Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр». Значение числа равно:
1) сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых
«цифр» (назовем их группой первого вида);

2) разности значений двух «цифр», если слева от большей
«цифры» стоит меньшая. В этом случае от значения большей «цифры» отнимается значение меньшей «цифры». Вместе они образуют группу второго вида.
Заметим, что левая «цифра» может быть меньше правой максимум на один порядок: так перед L(50) и С(100) из «младших» может стоять только Х(10), перед D(500) и М(1000) -только С(100), перед V(5) — только 1(1);
3) сумме значений групп и «цифр», не вошедших в группы первого или второго вида.

Календарь на каменной плите (3 4 век), найденный в Риме