Нетрадиционные способы решения квадратных уравнений

ПРЕДСТАВЛЯЕТ

«Нетрадиционные способы решения квадратных уравнений»
исследовательская работа творческого характера и практической
направленности.
Выполнили:
Марченко Руслана, Митякина Дарья, Капелько Евгений, Халтурина Екатерина – учащиеся 9«А»класса,
члены школьного НОУ «Эрудит» МОУ «СОШ №30».
Научный руководитель:
Маковская Евгения Васильевна, учитель математики первой категории МОУ «СОШ №30», г. Норильск.
2008 год.

Цели и задачи работы.
Целью нашей работы является:
рассмотрение некоторых нестандартных способов решения квадратных уравнений на конкретных примерах, которые я сам подбирал, многие из них сам составлял, сам решал;
составить алгоритм логической цепочки действий учащегося при решении квадратного уравнения.
желание поделиться результатами своей работы со своими одноклассниками;
возможность увидеть, как воспринимается материал, и каков процент учащихся будет пользоваться предложенными способами;
и возможность практического применения материала, изложенного в работе на уроках математики.

Основная часть работы.
Квадратные уравнения, которые решаются по свойству коэффициентов.
Задачи, решаемые с помощью теоремы Виета.
Решение квадратных уравнений способом замены переменной.

Свойства коэффициентов.
Если коэффициенты квадратного уравнения ax² +bx + c = 0 (a≠0) удовлетворяют условию a + b + c = 0, то корни такого квадратного уравнения равны:X1 =1, X2 =c/a.
Если же – такому условию: a - b + c = 0, то корни таковы: X1 =-1, X2 =-c/a.

Примеры. Случай1: a + b + c = 0.
1. х²+8х-9=0.
Решение: a +b+c =1+8-9=0 →х1=1,х2=-9/1=-9.
Ответ:х1=1,х2=-9.
2. 5х²-(m+5)х+m=0.
Решение: a +b + c = 5 -(m+5) +m = 5-m-5+m=0 →
Ответ:х1=1,х2=m/5.

Примеры. Случай2: a - b + c = 0.
1. 5х² - 9х -14=0.
Решение: a -b+c =5+9-14=0 →х1=-1,х2=14/5.
Ответ:х1=-1,х2=14/5.
2. 3х²+(3-n)х-n=0.
Решение: a -b + c = 3 -(3-n) -n = 3 -3 +n -n=0 →
х1=-1,x2=n/3. Ответ:х1=-1,х2=n/3.
• 3. (8-d)х² - dх -8=0.
Решение: a -b + c = (8-d)+d-8 = 8-d+d-8 =0 →
х1=-1,х2=8/8-d Ответ:х1=-1,х2=8/8-d.

РазделII.Оригинальные задачи с геометрическим смыслом, решаемые с помощью теоремы Виета.
Задача1. 1). Найдите площадь прямоугольника, длины сторон которого численно равны корням уравнения
√2x² - 17x + 3 = 0.
1) 3√2; 2) 1,5√2 ; 3) 3 ; 4) 8,5√2; 5) 17√2.
Решение. Площадь прямоугольника равна произведению длин его соседних сторон. По условию длины сторон данного прямоугольника численно равны корням данного уравнения. Значит, применив теорему Виета, по которой произведение корней квадратного уравнения
ax² + bx + c = 0 равно c/a , получим:
S прямоугольника = 1,5√2, то есть верным является второй вариант ответа .А именно: 1,5√2 .

Задача 2.
Найдите периметр параллелограмма, длины сторон которого численно равны корням уравнения
√6x² - 12x + 3 = 0.
1) 2√6; 2) 24; 3) 4√6 ; 4) √6 ; 5) 6 .
Решение. Полупериметр, p, параллелограмма - это сумма длин двух его соседних сторон. По условию длины сторон данного параллелограмма численно равны корням данного уравнения. Значит, по теореме Виета, их сумма равна X1 + X2 =2√6.
Но X1 + X2 = p, следовательно, P = 2p = 2 •2√6=4√6.
Значит, верным есть третий вариант ответа, то есть:4√6 .

РазделIII.Решение квадратного уравнения способом замены переменной.
1). Решить уравнение:
(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24 .
Решение: Умножим первый двучлен на четвёртый, затем второй на третий и сделаем замену переменной, получим:
( x² + 5x + 4)( x² + 5x + 6) = 24,
Пусть x² + 5x = y, тогда
( y + 4)( y + 6) = 24,
y² + 10y + 24 =24,
y² + 10y = 0,
y ( y + 10) = 0 → y = 0 или y + 10 =0
y = -10.
Вернёмся к переменной x , получим два уравнения:
x² + 5x =0 и x² + 5x = -10.
x ( x + 5) = 0 x² + 5x +10 = 0.
x = 0 или x + 5 = 0 D = 25 – 40 < 0 уравнение не имеет действительных корней
x = -5. Ответ: X1 = 0 . X2 =- 5.

Разложение квадратного трёхчлена на множители способом замены переменной
2) Представить выражение x(x + 1)(x + 2)(x + 3) – 15 в виде произведения двух многочленов.
Решение: x(x + 1)(x + 2)(x + 3) – 15 =
= x(x +3)(x + 1)(x + 2) -15 =
= (x² + 3x)( x² + 3x +2) – 15.
Пусть x² + 3x = t , тогда получим: (x² + 3x)( x² + 3x +2) – 15 = t(t + 2) – 15 = t² +2t – 15.
Найдём теперь корни полученного квадратного трёхчлена. Для этого решим квадратное уравнение:
t² +2t – 15 = 0.
По теореме Виета
t1 = -5, t2 = 3.
Значит, t² +2t – 15 = (t +5)(t – 3).
Вернёмся к переменной x, получим
ответ на вопрос задачи: x (x + 1)(x + 2)(x + 3) – 15 = (x² + 3x +5)( x² + 3x -3).

Алгоритм решения квадратного уравнения
1.Проверить каким является квадратное уравнение полным или неполным.
2.Если уравнение неполное, то решаем, применяя свойства коэффициентов или правила нахождения корня уравнения, определив какому из трех случаев(ах²=0, ах²+bх=0 или ах²+с=0) соответствует данное уравнение.
3. Если уравнение полное, то решаем
а)либо по свойствам коэффициентов,
либо по теореме Виета,
в) либо применяя формулу дискриминанта и формулы корней квадратного уравнения.
Если квадратное уравнение задано в неявном виде, например, биквадратное или в таком виде как в разделе III, то придётся применить способ замены переменной.

Заключение.
Надеемся, что наша работа не останется незамеченной всеми, кто любит математику, любит решать задачи разных уровней.
Выражаем признательность нашему преподавателю математики и научному руководителю Евгении Васильевне Маковской за помощь, оказанную нам при выполнении данной работы и за те ценные указания, которые мы получали от неё в процессе работы.
Нам также очень хотелось бы, чтобы наша работа послужила учащимся при подготовке к урокам и, в перспективе, к экзаменам, а также преподавателям при подготовке к урокам.