О производной

История появления термина «производная»

«Кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет»
Лейбниц Готфрид Фридрих

Раздел математики который изучает производные функции и их применения, называется дифференциальным исчислением. Это исчисление возникло из решений задач на проведение касательных к кривым, на вычисление скорости движения, на отыскание наибольших и наименьших значений функции.

Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности Архимедом, разработавшим способ проведения касательной.
Архимед построил касательную к спирали, носящей его имя.
Архимед (ок. 287 – 212 до н.э.) – великий ученый. Первооткрыватель многих фактов и методов математики и механики, блестящий инженер.

Аполлоний – к эллипсу, гиперболе и параболе.
Но общего метода, пригодного для построения касательной к любой кривой плоскости в произвольной ее точке найдено не было.

Более общим и важным для развития дифференциального исчисления был метод построения касательных Ферма.
Пьер Ферма (1601 – 1665 гг.) – французский математик и юрист

Задача нахождения скорости изменения функции была впервые решена Ньютоном.
Функцию он назвал флюэнтой, т.е. текущей величиной. Производную – ф л ю к с и е й.
Ньютон пришел к понятию производной исходя из вопросов механики.
Исаак Ньютон (1643 – 1722 гг.) – английский физик и математик.

Основываясь на результатах Ферма и некоторых других выводах, Лейбниц в 1684 году
опубликовал первую статью по дифференциальному исчислению, в которой были изложены основные правила дифференцирования.
Лейбниц Готфрид Фридрих (1646 – 1716) – великий немецкий ученый, философ, математик, физик, юрист, языковед

Термин «производная» впервые встречается у француза Луи Арбогаста.
Этим термином стал пользоваться Лагранж, который и ввел обозначения
У’ и F’(X).
Лагранж, Жозеф (1736–1813), французский математик и механик.

Применение производной:
Мощность – это производная работы по времени P = A' (t).
Сила тока – производная от заряда по времени I = g' (t).
Сила – есть производная работы по перемещению F = A' (x).
Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре C = Q' (t).
Давление – производная силы по площади P = F'(S)
Длина окружности – это производная площади круга по радиусу lокр=S'кр(R).
Темп роста производительности труда – это производная производительности труда по времени.
Успехи в учебе? Производная роста знаний.

Применение производной в физике
Задача: Два тела движутся прямолинейно соответственно по законам: S1 (t) = 3,5t2 – 5t + 10 и S2 (t) = 1,5t2 +3t –6. В какой момент времени скорости тел будут равны?

Применение производной в экономике
Задача: Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой
Исследовать потенциал предприятия.

Работу выполнил:
Ученик 10 А класса (физико-математический профиль)
Клюкин Дмитрий