Операции алгебры логики

Высказывание в логике является аналогом выражения в арифметике:
В алгебре чисел из чисел при помощи операций +, -, *, / и (,) можно составлять арифметические выражения.
В логике из простых высказываний (ИСТИНА, ЛОЖЬ) можно составлять логические выражения (составные высказывания) с использованием логических операций.

Обозначения логических значений
А, В – логические переменные, которые могут иметь значение ИСТИНА (И), ЛОЖЬ (Л).
А = 2 + 2 = 4;
В = рыбы живут на суше;
НАПРИМЕР:

Таблица истинности
- таблица, устанавливающая соответствие между возможными значениями наборов логических переменных и значениями функции.
Введем обозначения: 0 – ЛОЖЬ, 1 - ИСТИНА

Основные логические операции
И – логическое умножение,
ИЛИ – логическое сложение,
НЕ – логическое отрицание.
Простые высказывания могут быть связаны между собой словами И, ИЛИ, НЕ. Получившееся высказывание – сложное высказывание.

Логическое умножение (конъюнкция)
Соединение двух простых высказываний в одно составное с помощью операции И.
Полученное сложное высказывание – логическое произведение (конъюнкция).
Обозначение: & , ∧, · , x – математическим знаком умножения или опуская его.
Таблица истинности:
Произведение двух высказываний А, В истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.

Например:
«Солнце светит и нет дождя»
Обозначим:
А = «Солнце светит»,
В = «нет дождя».
С = А∧В
С = «Солнце светит и нет дождя».

Логическое сложение (дизъюнкция)
Союз ИЛИ в обиходе применим в двух различных значениях: в исключающем и неисключающем смысле.
Например:
«Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай» - союз «или» взят в неисключающем (объединительном) смысле, так как мы можем и смотреть телевизор и одновременно пить чай.
«Данный глагол I или II спряжения» - союз «или» используется в исключающем (разделительном) смысле.
Разъяснение:

Примеры строгих и нестрогих дизъюнкций:

Логическое сложение (дизъюнкция)
Соединение двух простых высказываний в одно составное с помощью операции ИЛИ, употребляемой в неисключающем смысле.
Полученное сложное высказывание – логическая сумма (дизъюнкция).
Обозначается ∨, + .
Таблица истинности:
Сумма двух высказываний А, В истинна тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно высказывание.

Например:
«Студент едет в электричке или читает книгу»
Обозначим:
А = «Студент едет в электричке»,
В = «Студент читает книгу».
С = А ∨ В
С = «Студент едет в электричке или читает книгу».

Логическое отрицание (инверсия)
Присоединение частицы НЕ к сказуемому данного высказывания А, или словосочетания «неверно, что» ко всему высказыванию
Полученное новое высказывание называется отрицанием высказывания А или логическое отрицание.
Обозначение: ¬A, Ā.
Если А – истинное высказывание, то ¬A – ложное высказывание, и наоборот.
Таблица истинности:
Отрицание истинного высказывания есть ложь.

Например:
«Число 5 является делителем числа 30»
Обозначим:
А = «Число 5 является делителем числа 30»,
Ā = «Число 5 НЕ является делителем числа 30».
К = «Некоторые цыплята - кошки»,
¬К = «Неверно, что некоторые цыплята - кошки».
Д = «Идет дождь»,
¬Д = «Неверно, что идет дождь».

При образовании сложных высказываний из простых можно использовать несколько логических операций.
Приоритет выполнения операций
(если нет скобок):
I – НЕ,
II – И,
III – ИЛИ.

Операции инверсия, конъюнкция и дизъюнкция являются основными операциями алгебры логики и называются булевыми операциями.
Существуют другие логические операции. Но они могут быть выражены через основные, поэтому их можно назвать функциями.

Эквивалентность
Обозначение: ~
Логическая связка «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА»
Сложное высказывание А ~ В (А эквивалентно В) истинно тогда и только тогда, когда и А и В истинны, или когда и А и В – ложны.
A ~ B =А ∧B ∨ A ∧ В
Определение через основные функции:
Определение через основные функции:

Например:
А = Площадь квадрата больше единицы,
В = Сторона квадрата больше единицы.
Их соединение эквивалентностью:
A ~ B = Площадь квадрата больше единицы тогда и только тогда, когда сторона квадрата больше единицы.

Исключающее ИЛИ
(строгая дизъюнкция)
Обозначение: А⊕В Логическая связка «ЛИБО…, ЛИБО»
Высказывание, соответствующее исключающему или, похоже на дизъюнкцию, но исключает одновременную истинность обоих высказываний
Строгая дизъюнкция истинна только тогда, когда одно высказывание истинно, а другое ложно.
Определение через основные функции:
A ⊕ B = А ∧B ∨ А ∧ В

Импликация
Обозначение: А → В Логическая связка «ЕСЛИ..., ТО» (логическое следование одного высказывания из другого)
Импликация А→В истинна всегда, за исключением случая, когда А истинно, а В ложно.
Определение через основные функции:
A → B =А + B
A → B =А + B

Например:
А = На улице дождь.
В = Асфальт мокрый.
A → B = «Если на улице дождь, то асфальт мокрый».
Тогда,
если идет дождь (А = 1) и асфальт мокрый (В = 1), то это правильно.
Но если вам скажут, что на улице идет дождь (А = 1), а асфальт остается сухим (В = 0), то вы посчитаете это ложью.
А вот когда дождя на улице нет (А = 0), то асфальт может быть и сухим, и мокрым (например, только что проехала поливальная машина).

Сводная таблица логических операций

Приоритет выполнения логических операций
(если нет скобок)

Например:
¬A∨B∧C→C∧A~B ⊕ C⊕A
(((¬A)∨(B∧C))→(C∧A))~((B⊕C)⊕A)
1 3 2 5 4 8 6 7
¬A∨B∧C→C∧A~B ⊕ C⊕A

Перевод логических операций на естественный язык:

Пример:
Изобразить в виде формулы суждение: «Я обязательно поеду на футбольный матч, если достану билет или меня пригласит товарищ и если не будет дождя».
Поездка на стадион зависит от условий:
я достану билет – я не достану билет;
меня пригласит товарищ – меня не пригласит товарищ;
будет дождь –не будет дождя.

Введем обозначения:
Б – я достану билет;
Б – я не достану билет; П – меня пригласит товарищ;
П – меня не пригласит товарищ;
Д – будет дождь;
Д – не будет дождя.

Сложное высказывание: «Я достану билет или меня пригласит товарищ и не будет дождя»
Б ∧ ¬Д ∨ П ∧¬Д
или, то же самое –
Б · Д + П · Д
Данное высказывание равносильно поездке на матч – М
М = Б ·¬Д + П ·¬Д

Составление таблицы истинности для сложного высказывания. (Например: А·(В + С).)
Правило:
Число исходных столбцов равно числу переменных (простых высказываний) – n. (в примере n = 3);
Число строк равно 2n. (у нас: 2n = 23 = 8).
Порядок заполнения строк для исходных столбцов:
1-й столбец. Число строк (23 = 8) делится пополам. Верхняя половина заполняется нулями, нижняя – единицами.
2-й столбец. Число строк делится на 4 части. Первая четверть заполняется 0, вторая – 1, третья – снова 0, четвертая 1.
4. В первых строках таблицы выписаны возможные наборы комбинаций значений истинности простых высказываний (А, В, С). В следующих столбцах – значения истинности последовательно выполняемых операций и окончательного результата.

¬А · (В + С)

Самостоятельная работа
1. Составить таблицу истинности:
М = Б ·¬Д + П ·¬Д
2. Изобразить в виде формулы:
«Если сегодня будет хорошая погода, я пойду на прогулку, или буду делать уроки, если погода будет плохая.»

Доказать справедливость тождества
A + B·C = (A + B) · (A + C)
Столбцы равны. Тождество доказано.