Пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Цель и задачи изучения темы
Раскрыть сущность метода секущих плоскостей при построении линии взаимного пересечения поверхностей
Определить алгоритм решения задач данного класса
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

В результате изучения темы Вы будете знать:
Сущность метода секущих плоскостей при построении линии пересечения поверхностей
Алгоритм применения метода секущих плоскостей для решения позиционных задач
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей
В результате изучения темы Вы будете уметь:
Применять алгоритм метода секущих плоскостей на практике

ВЗАМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Линия пересечения поверхностей -
совокупность точек одновременно принадлежащих двум пересекающимся поверхностям
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Характер линии пересечения зависит от вида поверхностей
Линия пересечения многогранников
ломаная линия
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Линия пересечения двух поверхностей второго порядка - пространственная кривая
Линия пересечения многогранника и поверхности вращения - сочетание плоских кривых линий (парабола, гипербола, эллипс и т.д.)
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Алгоритм решения задач на построение линии пересечения поверхностей
1. Провести анализ заданных поверхностей
- Определить характер заданных поверхностей (цилиндр, призма, сфера, пирамида и т.д.)
Определить какая из них является проецирующей поверхностью
На плоскости проекций, к которой поверхность перпендикулярна, проекция линии пересечения совпадает с очерком проецирующей поверхности
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

2. Определить характерные (опорные) точки линии пересечения
точки пересечения очерков поверхностей,
высшие и низшие, правые и левые точки поверхностей,
наиболее удаленные и приближенные к плоскостям проекций точки,
точки принадлежащие очерковым линиям поверхностей
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

3. Провести вспомогательную секущую плоскость частного положения между опорными точками.
В сечении поверхностей должны получаться простые геометрические фигуры – окружности, треугольники, прямоугольники.
4. Построить сечения заданных поверхностей вспомогательной секущей плоскостью. Определить точки пересечения построенных сечений.
5. Обозначить искомые точки линии пересечения поверхностей.
Повторение пунктов 3,4,5… – n раз
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

6. Соединить линией, полученные точки пересечения. Сохранить последовательность соединения точек, как на проецирующей поверхности
7. Определить видимость линии пересечения и очерковых линий заданных поверхностей
8. Обвести изображение данных поверхностей с учетом видимости изображения оставляя линии построения
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Задача.
Построить линию пересечения заданных поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

1. Провести анализ данных поверхностей
Пересекаются призма и сфера.
Поверхность призмы является проецирующей на горизонтальной плоскости, поэтому линия пересечения на эту плоскость проецируется в простую геометрическую фигуру - треугольник
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

 п1
Rc
11
22
12
21
42
32
41
31
bп1
Rc
51
52
п1
61
71
62
72
01
02
2. Определить опорные точки.
На фигуре треугольника это крайние точки 1 и 2
Следующими точками будут точки на оси треугольника – это 3 и 4
Еще одна характерная точка – 5 на вершине
3. Дополнительными точками являются 6 и 7
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Задача.
Построить линию пересечения заданных поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

1. Провести анализ пересекающихся поверхностей
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Линия пересечения заданных поверхностей на фронтальной плоскости совпадает с очерком цилиндра
Цилиндр является фронтально проецирующей поверхностью, так как все его образующие фронтально проецирующие прямые
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Характерные точки
- точки пересечения очерков точки 1 и 2 на горизонтальной плоскости находятся на оси конуса
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Характерные точки
низшие точки очерка цилиндра
9 и 10 лежат на основании конуса
92Ξ102
91
101
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Характерные точки
- крайние левые точки очерка цилиндра (точки 5 и 6), находятся с помощью вспомогательной плоскости π2
π2
52Ξ62
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

R5
В плоскости π2
фигура сечения конуса –
это окружность R5,
а фигура сечения
цилиндра по его оси –
прямоугольник
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Промежуточные точки
- 3 и 4 находятся с помощью дополнительной секущей плоскости βп2, которая рассекает конус по окружности R3, а цилиндр по прямоугольнику
βп2
R3
На пересечении этих фигур находятся точки взаимного пересечения
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Промежуточные точки
- 7 и 8 строятся аналогично предыдущим.
Проводят вспомогательную плоскость п2
R7
81
71
72 Ξ 82
п2
Плоскость рассекает конус по окружности R7, а цилиндр по прямоугольнику
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Соединяют полученные точки в последовательности, как на проецирующей поверхности конуса: 1,3,5,7,9,2,10,8,6,4,1
Обводят изображение с учетом видимости
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Выводы по теме
Для построения линии пересечения двух поверхностей применяют алгоритм метода секущих плоскостей
Определяют общие точки, принадлежащие вспомогательной секущей плоскости и двум поверхностям
Полученные точки сечений соединяют и обводят изображение с учетом видимости
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей

Рекомендованная литература
Бударин О. С. Начертательная геометрия. Краткий курс: учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по направлениям в обл. техники и технологий / О. С. Бударин. - 2-е изд., испр. - Санкт-Петербург ; Москва ; Краснодар: Лань, 2009. - 368 с.
Королев Ю. И. Начертательная геометрия: учеб. для вузов инженер.-техн. специальностей / Ю. И. Королев. - 2-е изд. - Москва ; Санкт-Петербург ; Нижний Новгород [и др.]: Питер, 2010. - 256 с.
Чекмарев А. А. Начертательная геометрия и черчение: учеб. для студентов вузов, обучающихся по техн. специальностям / А. А. Чекмарев. - 3-е изд., перераб. и доп. - Москва: Юрайт, 2011. - 471 с.
Лекция 6. Взаимное пересечение поверхностей. Метод вспомогательных секущих плоскостей