Первообразная

Содержание
Открытие первообразной
Понятие первообразной
Основное свойство первообразной
Три правила нахождения первообразной
Интегралы
Неопределенный интеграл
Используемая литература

Открытие первообразной
В математике важнейшей заслугой Готфрида Лейбница и Исаака Ньютона является разработка дифференциального и интегрального исчисления . Первые результаты ученых были получены в 1675 году. Систематический очерк дифференциального исчисления был опубликован в 1684, интегрального – в 1686. Здесь давались определения дифференциала и интеграла , были введены знаки для дифференциала d и интеграла
Далее ученые указали формулу для многократного дифференцирования произведения и положили начало интегрированию рациональных дробей
Готфрид Лейбниц
Исаак Ньютон

Понятие первообразной
Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех x из этого промежутка F’ (x)= f (x).
Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределенного интеграла, а сам процесс называется интегрированием

Основное свойство первообразной
Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F (x)+C, где F (x)-одна из первообразных для функции f (x) на промежутке I, а C-произвольная постоянная.

Три правила нахождения первообразных
Правило 1.
Если F есть первообразная для f, а G-первообразная для g, F+G есть первообразная для f + g.
Правило 2.
Если F есть первообразная для f, а k-постоянная, то функция kF –первообразная для kf.
Правило 3.
Если F (x) есть первообразная для f (x), а k и b- постоянные , причем k не равно 0, то 1/k F (kx+b) есть первообразная для f (kx+b).

Интегралы
Первообразные важны тем , что позволяют вычислять интегралы .
Если F – первообразная интегрируемой функции f , то :
Это соотношение называется формулой Ньютона-Лейбница

Неопределенный интеграл
Множество первообразных данной функции f называют неопределенным интегралом f и записывают в виде интеграла без указания пределов :