Первообразная и неопределенный интеграл

Определение: Функция F(х) называется первообразной функции f(х) на промежутке Х, если
Теорема: Если функция f(х) непрерывна при ,то для f(х) существует первообразная F(х) на Х.
Замечание 1: Условие непрерывности не является необходимым для существования первообразной. Пример разрывной функции, имеющей первообразную:

Пример:
Решение. Данная функция может быть записана в виде:

Замечание 2: Если функция f(х) определена на промежутке Х и в точке имеет разрыв в виде скачка,
то есть
, то функция f(x) не имеет первообразной на любом промежутке, содержащем точку .
Теорема 2: Если F(x) одна из первообразных функции f(x), на промежутке Х, то любая первообразная на этом промежутке имеет вид F(x)+C.
Определение: Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается

Основные свойства неопределенного интеграла.

Основные методы
Интегрирования.

Табличный.
Сведение к табличному преобразованием подынтегрального выражения в сумму или разность.
Интегрирование с помощью замены переменной (подстановкой).
Интегрирование по частям.

Нахождение интеграла методом преобразования подынтегральной функции в сумму или разность.

Интегрирование методом замены переменной.

Интегрирование выражений, содержащих радикалы,
методом подстановки.

Интегрирование алгебраических дробей.

Интегрирование по частям.