Построение правильного пятиугольника

Правильные многоугольники привлекали внимание древнегреческих учёных
ещё задолго да Архимеда. Пифагорейцы, выбравшие эмблемой своего союза
пентаграмму - пятиконечную звезду, придавали очень большое значение
задаче о делении окружности на равные части, то есть о построении
правильного вписанного многоугольника.
Альбрехт Дюрер (1471-1527гг),
ставший олицетворением Возрождения в Германии
приводит теоретически точный способ построения
правильного пятиугольника, заимствованный из великого
сочинения Птолемея "Альмагест". Интерес Дюрера к
построению правильных многоугольников отражает
использование их в Средние века в арабских и готических
орнаментах, а после изобретения огнестрельного оружия
- в планировке крепостей

Дюрер пишет: «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому
других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».
Живописец подробно разрабатывает теорию
пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений
Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых
пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних
пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д.
Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Леонардо да Винчи также много писал о многоугольниках, но именно
Дюрер, а не Леонардо, передал средневековые способы построения
потомкам. Дюрер, конечно, был знаком с " Началами" Евклида, но не привел
в своем "Руководстве к измерению" (о построениях при помощи циркуля и
линейки) предложенный Евклидом теоретически точный способ построения
правильного пятиугольника.

Предложенное Евклидом построение правильного пятиугольника включает в себя деление отрезка прямой в среднем и крайнем отношении, названное впоследствии золотым сечением и привлекавшим к себе внимание художников и архитекторов на протяжении нескольких столетий.

Способы построение пятиугольника
По Дюреру
По Евклиду

Пентагональная симметрия встречается только в живой природе и является отличительной
чертой саморегулирующихся систем. Тогда как в кристаллах – «неживых структурах», согласно
классической кристаллографии, возможны симметрии третьего, четвертого и шестого порядков.
Из всех правильных фигур только пятиугольником нельзя заполнить плоскость.
То есть, из них нельзя выложить паркет. Нужно отметить, что в поперечном сечении двойная
спираль ДНК - правильный пятиугольник .
Если рассмотреть правильный пятиугольник , то увидим,
что он буквально "заполнен" золотым сечением, так:
Углы ABF, AFD и AED равны 108° или ,
а углы ADF, AFB, BFC равны 36° или , при этом:
Вернуться
Построение по Евклиду
Тест

Приближенное построение правильного пятиугольника представляет собой интерес. А.Дюрером оно проводится при условии неизменности раствора циркуля, что повышает точность построения. Способ построения описан Дюрером так:
"Однако пятиугольник, построенный неизменным раствором циркуля, делай так. Проведи две окружности так, чтобы каждая из них проходила через центр другой. Два центра А и В соедини прямой линией. Это и будет стороной пятиугольника. Точки пересечения окружностей обозначь сверху С, снизу D и проведи прямую линию CD. После этого возьми циркуль с неизменным раствором и, установив одну его ножку в точку D, другой проведи через оба центра А и В дугу до пересечения её с обеими окружностями. Точки пересечения обозначь через E и F, а точку пересечения с прямой CD обозначь буквой G. Теперь проведи прямую линию через Е и G до пересечения с линией окружности. Эту точку обозначь Н. Затем проведи другую линию через F и G до пересечения с линией окружности и поставь здесь J. Соединив J,A и H,B прямыми, получим три стороны пятиугольника. Дав возможность двум сторонам такой длины достигнуть совпадения в точке K из точек J и H, получим некоторый пятиугольник."
Построение по Дюреру

A
B
C
D
E
F
G
H
J
K
Вернуться
Попробуем выполнить построение Дюрера самостоятельно:
Тест

Тест
1. Что представляет собой пентаграмма?
Звезда
Рукопись
Пирамида

Верно!Поздравляю!
Следующий вопрос

Неверно!Попробуйте еще раз!
Вернуться к вопросу!

2. Кто из перечисленных ученых не исследовал пятиугольники?
Коперник
Евклид
Дюрер

Правильно!
Следующий вопрос

Подумайте!
Вернуться к вопросу!

3. Как называется великий труд Евклида?
«Основы геометрии»
«Пентаграммы»
«Начала»

Молодец!
Следующий вопрос

Неправильно!
Вернуться к вопросу!

4. Где встречается пентагональная симметрия?
В неживой
природе
В живой
природе
В учебнике
геометрии

Умница!
Выйти из теста

Неверно!Попробуйте еще раз!
Вернуться к вопросу!

Выполнила
Бурова Елена
ученица 9Б класса
МОУ «Лицей №43»
Проверила
Лобанова О. Е.
учитель алгебры и
геометрии
МОУ «Лицей №43»
Саранск 2007