Потенциальное (упругое) рассеяние

Фазовая теория рассеяния
Рассеяние на изотропном потенциале
Разложение волновой функции по парциальным волнам
Радиальная часть Rl
Асимптотическое поведение
Rl(-) - сходящаяся,
Rl(+) расходящаяся, волна, δl - фаза рассеяния.

Разложение плоской волны
Сферические функции
Бесселя jl, j0(x)=sin(x)/x
jl(x)=(π /2x)Jl+1/2(x)
Разложение ψ(r)

Амплитуда рассеяния
S матрица
Парциальная амплитуда
Разложение амплитуды рассеяния

Сечение рассеяния
Парциальное сечение
Максимальное парциальное сечение

Условие унитарности
Парциальная волна
Расходящаяся волна
Сходящаяся волна
Суперпозиция парциальных волн
Матрица рассеяния S
Унитарность S матрицы
Сохранение числа частиц

Оптическая теорема

Закон сохранения числа частиц
Плотность потока частиц

Условие унитарности S матрицы в представлении плоских волн

Приближение Борна
Условие приближения
Вероятность рассеяния

Квазиклассическое приближение
Квазиклассический предел
Классические
траектории
движения
Классическое
сечение
рассеяния

Приближение WKB,
Приближение эйконала
Квазиклассическая волновая функция
Квазиклассическая фаза рассеяния

Эйконал
Квазиклассическая фаза рассеяния

Квазиклассическая амплитуда рассеяния
Замена переменных

Борновский предел
Сечение рассеяния

Рассеяние медленных частиц
ka << 1
Волновая функция вне действия потенциала r >> a
Волновая функция в области действия потенциала r < a

Сшивание волновых функций a

Резонансное рассеяние медленных частиц
резонанс в s - волне, l = 0
Условие резонанса,

резонанс с l ≠ 0

Аналитические свойства S матрицы
k → -k

t → -t
Вещественная ось
Мнимая ось

Особенности S матрицы
Полюса S матрицы, связанные состояния E=E0<0
Пример:
резонанс в
s - волне,
ka << 1

Положение полюсов k0=k’+ik”:
k” >0, k’=0; k” <0, k’1=- k’2
Условие непрерывности

Полюса на нефизическом листе k”<0, резонансы k”<

Свойства вычетов
Полюс на физическом листе k0=iκ
Связанное состояние с энергией
и волновой функцией
Волновая функция задачи рассеяния с импульсом k= iκ + ε

Условие непрерывности

Теорема Левинсона
Функция Йоста Dl(k)

Квазистационарные состояния
Энергия состояния
Волновая функция
Временная зависимость волновой функции
Пространственная зависимость волновой функции

Условие непрерывности

Квазистационарное состояние в задаче рассеяния
Полюса на нефизическом листе k”<0, резонансы k”<

Зависимость волновой функции рассеяния от энергии налетающий частицы в области резонанса

Время соударения

Координатная и энергетическая зависимость волновой функции задачи рассеяния в области резонанса
Резонанс в неупругом рассеянии

Многоканальное рассеяние
Волновая функция многоканальной задачи
Если E > Λi - i канал рассеяния открыт, Im{ki}=0.
Если E < Λi - i канал рассеяния закрыт, Re{ki}=0, αi=0.
Размерность S - матрицы m⊗m,
m - число открытых каналов.

Сечения рассеяния, разложение по парциальным волнам
Волновая функция на бесконечности
- амплитуда рассеяния

Дифференциальные сечение рассеяния
Полные сечение рассеяния
Сечение упругого
рассеяния
Сечение неупругого
рассеяния
Полное сечение

Условие унитарности
- парциальная волна с моментом l
Закон сохранения числа частиц:

Оптическая теорема

Обратимость времени, теорема взаимности
t → -t Ψ → Ψ*
Условие унитарности
Симметричность S - матрицы
Теорема взаимности
Принцип детального равновесия

Аналитические свойства
Точки ветвления
Полюса на физическом листе E < Λ1, , Re{ki}=0, Im{ki}>0
Связанные состояния E = E0< Λ1, Ψ ∝ Ψ (+)
Волновая функция задачи рассеяния

Условие непрерывности

Формула Брейта - Вигнера
Условие унитарности
Γi=vi|Ai|2 - парциальная ширина, Γ = Σi Γi - полная ширина.
Резонансное рассеяние на квазидискретном уровне
E=E0-iΓ/2 , Γ  E0.
- поток
частиц сорта i

Рассеяние через образование промежуточного квазистационарного состояния, прямое рассеяние
Сечение образования промежуточного квазистационарного состояния в пренебрежении каналом прямого потенциального рассеяния

Резонансы формы
Пример: Неупругое резонансное рассеяние с возбуждением мишени

Резонансы Фешбаха
Пример: Резонансное рассеяние с образованием автоионизационного состояния.
+
Автоионизационная ширина
Неупругая ширина
Сечение резонансного рассеяния
Сечение захвата

Оптическая модель рассеяния
Большое число плотно расположенных резонансов
Усредненные сечения, l=0
Усреднение S матрицы, Γ << D.
Принцип детального равновесия:

Пороговые явления
E ≈ Λi, Ti= E - Λi → 0
Пример: i=1,2; E ≈ Λ, T2 → 0, k2R << 1
Волновая функция задачи рассеяния частицы 1
Условие сшивания при r=R
- закон 1/v

Волновая функция ψ(+) в классически недоступной области r < ρ = l/k
Закон 1/v и теория возмущений

Пороговое поведение сечения рождения заряженных частиц.
1. Притяжение, qxqy < 0, отсутствие потенциального барьера
l2 < |qxqy|mR
Волновая функция ψ(+) в классически недоступной области qxqy/r > (E - Λ2)
2. Отталкивание, qxqy > 0, отсутствие потенциального барьера
l2 < |qxqy|mR

Поведение упругого сечения вблизи порога E ≈ Λ2
1. E  Λ2
2. E  Λ2

Дифференциальное сечение рассеяния
E  Λ2,
E  Λ2.
{
sin(2δ0-α) E  Λ2,
cos(2δ0-α) E  Λ2.
Полное сечение рассеяния
{
sin2(δ0) E  Λ2,
cos(2δ0)/2 E  Λ2.

Взаимодействие в конечном состоянии при реакциях
Резонанс при рождении медленных частиц