Поверхностные модели построенные по кинематическому принципу

Поверхность вращения
Может быть построена в результате вращения двумерного объекта (прямая, плоская кривая) вокруг оси в пространстве
Рассмотрим основные типы геометрических моделей, построенных на основе вращения

Вращение точки вокруг одной из координатных осей или произвольной прямой
Результат построения – окружность

Отрезок и ось вращения компланарны
и параллельны друг другу
Результат построения – цилиндрическая поверхность или твердотельный цилиндр

Отрезок и ось вращения компланарны , но не параллельны друг другу
Результат построения – коническая поверхность или твердотельный цилиндр

Отрезок и ось вращения компланарны, отрезок перпендикулярен оси вращения
Результат построения:
Плоский диск, если отрезок
доходит до оси вращения
Диск с отверстием если диск
не доходит до оси вращения

Отрезок и ось вращения не компланарны
Результат построения - однополосный гиперболоид

Вращение половины окружности вокруг оси, лежащей в той же плоскости и проходящей через ее центр.
Результат построения – поверхностная или твердотельная сфера

Вращение половины эллипса вокруг оси, лежащей в той же плоскости и совпадающей с одной из его осей
Результат построения – поверхностный или твердотельный эллипс

Вращение окружности вокруг оси, лежащей с ней в одной плоскости и не пересекающей ее
Результат построения - поверхностный или твердотельный тор

Математические основы построения поверхности вращения
Поверхность вращения помимо самостоятельной трехмерной поверхностной модели может быть основой для построения оболочки твердого тела.
Точки на поверхности задаются тремя координатами, каждая из которых является функцией параметра t: p(t)=[x(t),y(t),z(t)]
В общем виде функция Q(t,q), описывающая поверхность вращения, зависит от двух переменных: параметра t и угла поворота q.

Рассмотрим математическое описание поверхности вращения вокруг оси X.
Q(t,q)=[x(t), y(t)cos(q),y(t)sin(q)]
Пояснения к данному выражению даны на
на рисунке.

Данное математическое выражение поверхности вращения можно представить в матричном виде следующим образом.