ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Цель проекта:
Познакомиться с правильными многогранниками.
Изучить их формы и узнать где они встречаются.
Исследовать практическое применение многогранников.

ЗАДАЧИ:
Развивать эстетическое восприятие математический фактов, расширить представление о сфере применения математики.
Расширить кругозор посредством знакомства с лучшими образцами живописи и архитектуры.
Проследить историю развития многогранников.
Исследовать проявление и применение геометрии в природе и различных сферах деятельности человека.

МЕТОДЫ:
Работа с литературой.
Работа с интернет-ресурсами.
Беседа с преподавателем математики.
Наблюдение.

Виды многогранников
Многогранник- это поверхность составленная из многоугольников, а также тело ограниченное такой поверхностью.

Многогранники
Однородные
выпуклые
Однородные невыпуклые
Тела
Архимеда
Тела
Платона
Выпуклые
призмы и
антипризмы
Тела
Кеплера-
Пуансо
Невыпуклые
полуправильные
однородные
многогранники
Невыпуклые
призмы и
антипризмы

Правильными многогранниками
называют выпуклые многогранники, все грани и все углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники.
В каждой вершине правильного многогранника сходится одно и то же число рёбер .
Все двугранные углы при рёбрах и все многогранные углы при вершинах правильного многоугольника равны.
Правильные многогранники - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников.

Существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями.
Эти тела еще называют
телами Платона.

огонь
тетраэдр
икосаэдр
октаэдр
гексаэдр
вселенная
додекаэдр
вода
земля
воздух
Платон предположил, что атомы четырех «основных элементов» (земля, вода, воздух и огонь), из которых строится все сущее, имеют форму правильных многогранников: тетраэдр – огонь, гексаэдр (куб) – земля, октаэдр – воздух, икосаэдр – вода. Пятый многогранник - додекаэдр – символизировал «Великий Разум» или «Гармонию Вселенной».
Частицы трех стихий, которые легко превращаются друг в друг, а именно огонь, воздух и вода, оказались составленными из одинаковых фигур – правильных треугольников. А земля, существенно отличающаяся от них, состоит из частиц другого вида – кубов, а точнее квадратов.

Тетраэдр
-правильный четырехгранник. Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (это - правильная треугольная пирамида).

Гексаэдр
- правильный шестигранник. Это куб состоящий из шести равных квадратов.

Октаэдр
-правильный восьмигранник. Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины.

Додекаэдр
-правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины

Икосаэдр
-состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины

Число =В-Р+Г называется эйлеровой характеристикой многогранника. Согласно теореме Эйлера, для выпуклого многогранника эта характеристика равна 2. То ,что эйлерова характеристика равна 2 для некоторых знакомых нам многогранников, видно из таблицы.

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется.
Кристаллы — эти твёрдые тела имеют естественную форму правильных многогранников.

Молекула МЕТАНА имеет форму правильного
тетраэдра.
Этот факт подтверждается фотографиями молекулы
метана, полученными при помощи электронного
микроскопа.
Эта форма — следствие упорядоченного расположения в кристалле атомов, образующих трёхмерно-периодическую пространственную укладку — кристаллическую решетку.
Кристаллы

Кристаллы поваренной соли имеют форму куба,
кристаллы льда и горного хрусталя (кварца) напоминают отточенный с двух сторон карандаш, т.е. имеют форму шестиугольной призмы, на основания которой поставлены шестиугольные пирамиды.
Алмаз чаще всего встречается в виде октаэдра, иногда куба.
Исландский шпат, который раздваивает изображение, имеет форму косого параллелепипеда.
Кварц
Кристалл поваренной соли

Форму одноклеточных организмов – феодарий точно передает икосаэдр.
Чем же вызвана такая природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший объем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.
Одноклеточные организмы

Пятничный многогранник: “огуречный” вирус
На картинке – вирус, поражающий ценные растения типа помидоров и огурцов.
Именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее.
Вирусы

ДНК
ДНК генетического кода жизни – представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра!
В процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырех клеток, затем октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы.

Искусство
впрочем, многогранники - отнюдь не только объект научных исследований. Их формы - завершенные и причудливые, широко используются в декоративном искусстве.
Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются, конечно, графические фантазии Маурица Корнилиса Эшера (1898-1972), голландского художника, родившегося в Леувардене.
Мауриц Эшер в своих рисунках как бы открыл и интуитивно проиллюстрировал законы сочетания элементов симметрии, т.е. те законы, которые властвуют над кристаллами, определяя и их внешнюю форму, и их атомную структуру, и их физические свойства.
Гравюра. Звезды.

Так как правильные многогранники обладают жесткостью, то каркасы куполов церквей делают в виде правильных многогранников
Многогранники
в архитектуре