Презентация

Уравнения первой степени
Довольно часто возникают задачи, сводящиеся к алгебраическим уравнениям с целыми коэффициентами, для которых имеют смысл только целочисленные решения.
Например, в магазине продают тетради по 3 р. и 5 р. каждая; мальчик затратил на покупку тетрадей 22 р. Сколько и каких тетрадей он купил? Пусть мальчик купил x тетрадей по 3 р. и y – по 5 р.; задача сводится к решению уравнения
3x+5y=22.
Очевидно, x=4, y=2. Простым перебором убеждаемся, что это единственное решение задачи. Легко найти бесконечную последовательность целочисленных решений (4+5s; 2-3s) данного уравнения (но не задачи), заставив s пробегать множество целых чисел. Правда, пока неизвестно, все ли целочисленные решения получаются таким способом.
Поскольку решение линейного уравнения с одним неизвестным не представляет интереса, остановимся на уравнении с двумя неизвестными
аx + by = c (1)
Существует несколько способов решения уравнения.

Алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, решаемые во множестве целых (реже рациональных) чисел, называются диофантовыми по имени древнегреческого математика Диофанта (ІІІ в. н. э.), Посвятившего решению задач в целых и рациональных числах свой знаменитый трактат «Арифметика». Точнее, шесть дошедших до нас книг; содержание остальных семи книг этого трактата нам не известно. Часто рассматриваются неопределённые уравнения или их системы, т.е. такие, в которых количество переменных больше числа уравнений. Наиболее изучены диофатовы уравнения 1 и 2 степени. Начнем с уравнения первой степени.

Поскольку решение линейного уравнения с одним неизвестным не представляет интереса, остановимся на уравнении с двумя неизвестными
аx + by = c (1)
Существует несколько способов решения уравнения.

Способ 1.
Он основывается на применении к числам
а и b алгоритма Евклида. Слово «алгоритм» образованно от имени узбекского математика ал-Хорезми (IX в.), познакомившего арабов с индийской десятичной системой счисления. Первоначально алгоритмом (алгорифмом) называлась сама система счисления, а сейчас – последовательность операций, приводящая к решению поставленной задачи.

Алгоритм Евклида для целых чисел
Пусть a и b суть целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел
определена тем, что каждое rk это остаток от деления пред-предыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, т. е.
a = bq0 + r1
b = r1q1 + r2
r1 = r2q2 + r3
rn − 1 = rnqn
Тогда (a,b), наибольший общий делитель a и b, равен rn, последнему ненулевому члену этой последовательности.
Существование таких r1,r2,..., то есть возможность деления с остатком m на n для любого целого m и целого , доказывается индукцией по m.
Корректность этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений:
Пусть a = bq + r, тогда (a,b) = (b,r).
(0,r) = r. для любого ненулевого r.
Расширенный алгоритм Евклида и соотношение Безу
Формулы для ri могут быть переписаны следующим образом:
r1 = a + b( - q0)
r2 = b − r1q1 = a( − q1) + b(1 + q1q0)
(a,b) = rn = as + bt
здесь s и t целые. Это представление наибольшего общего делителя называется соотношением Безу, а числа s и t — коэффициентами Безу. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве основной теоремы арифметики.

Упражнение.
Упражнение. Докажите, что rn = НОД (а,b).
Таким образом, если d = НОД(а,b), то найдутся такие целые числа А и В разных знаков, что Аа + Вb =d. Если а и d взаимно простые, то Аа + Вb=1. Как числа А и В, видно из алгоритма Евклида.
Применим полученный результат к решению уравнения (1). Возможны два случая: либо число с не делится на d = НОД (а,b), либо делится. В первом случае уравнение не имеет целочисленных решений: при любых х и у левая часть делится на d, правая – нет. Во втором - можно разделить обе части уравнения на d и прийти к уравнению, коэффициенты которого взаимно просты. Поэтому будем сразу считать числа а и b взаимно простыми. Тогда, как мы только что видели, найдутся такие целые числа А и В, что аА+bВ=1
Обозначим х0= Ас, у0=Вс, пара (х0,у0) удовлетворяет уравнению (1). Вместе с ней этому уравнению удовлетворяет бесконечное множество пар (х,у), где
х=х0+b0, у=у0-аt,
t- любое число.