Презентация Абстрактная и компьютерная алгебра

СГПИ кафедра математики и информатики

СГПИ кафедра математики и информатики
Введение в учебный курс «Абстрактная и компьютерная алгебра»
Основные системы компьютерной алгебры
Тенденции развития систем компьютерной аналитики

СГПИ кафедра математики и информатики
ЧТО ТАКОЕ
«АБСТРАКТНАЯ АЛГЕБРА»?
«КОМПЬЮТЕРНАЯ АЛГЕБРА»?

СГПИ кафедра математики и информатики
Лекция 1
(вводная)
Общая характеристика учебного курса

СГПИ кафедра математики и информатики
Содержание лекции
„ Предмет дисциплины
„ Место дисциплины в учебном плане
„ Структура разделов дисциплины
„ Базовый уровень подготовки студентов
„ Виды учебных занятий и аттестаций
„ Результаты изучения дисциплины
„ Источники учебных материалов
„ Контактная информация

СГПИ кафедра математики и информатики
Предмет дисциплины: предыстория
Математика: от рассуждений …
Математика – это игра, в которой из множества
хорошо подобранных аксиом можно делать
интересные выводы.
«Доигрались»- кризис оснований математики !
Математика, оперирующая комбинаторными
объектами (аксиомами, доказательствами,
теоремами) способна описать результаты, но не
процедуру их получения.
Необходимо формализовать математику !
Давид Гильберт,
рубеж XIX-XX вв.
Всякая аксиоматическая достаточно
«интересная» теория обязательно будет
неполной (или противоречивой).
Формализовать математику нельзя ???

СГПИ кафедра математики и информатики
Предмет дисциплины: предыстория
Математика: …к вычислениям
Революция в математике (1936 г.) – переход от комбинаторики к алгоритмике !
Что такое «алгоритм»?
А как же с формализацией математики ?
Никола Бурбаки: исчисление родов структур !

СГПИ кафедра математики и информатики
Предмет дисциплины: ключевые слова
„ Алгебра ?
Это раздел математики.
„ Компьютерная алгебра ?
Это раздел информатики и
вычислительной техники.
„ Системы компьютерной алгебры ?
Это аппаратные и/или
программные
инструментальные средства.

СГПИ кафедра математики и информатики
Предмет дисциплины: терминология
Термин «Алгебра»
Своим сочинением «Краткая книга об исчислении восстановления и противопоставления». Термином «восстановление» аль-Хорезми обозначает перенос вычитаемого из одной части уравнения в другую, а термином «противопоставление» – собирание неизвестных в одну сторону уравнения, а известных – в другую, например, выражение x^2 + 5 = 40x + 4x^2 приводится к виду 40x + 3x^2 = 5.
По-арабски название книги звучало «аль-китаб альмухтасар фи хисаб аль-джабр уа-ль-мукабаля», где слово «альджабр» по-арабски означает «восстановление», а слово «альмукабалы» – «противопоставление». При переводе названия книги незнакомое и почти магическое слово «аль-джабр» было просто переписано, трансформировавшися в более благозвучное для европейского уха слово «алгебра».

СГПИ кафедра математики и информатики

СГПИ кафедра математики и информатики
Термин «Абстрактная алгебра»
Определение: Общая алгебра (также абстрактная алгебра, высшая алгебра) — раздел математики, изучающий алгебраические системы (также иногда называемые алгебраическими структурами), такие как группы, кольца, поля, частично упорядоченные множества, решётки, а также отображения между такими структурами.
Примерами алгебраических структур с бинарной операцией являются:
полугруппы, моноиды, группы, квазигруппы, полурешётки,
две бинарных операции — в кольцах, почти-кольцах, полях, решётках.

СГПИ кафедра математики и информатики
Термин «компьютерная алгебра»
появился в конце 70-хгодов XX века.
Синонимы:
„ Символьные вычисления.
„ Аналитические вычисления.
„ Формальные вычисления.

СГПИ кафедра математики и информатики
Предмет компьютерной алгебры –
символьные представления
и
аналитические преобразования
математических объектов
в компьютерных системах
обработки информации.

СГПИ кафедра математики и информатики
Компьютерная алгебра (в отличие от численных методов) занимается разработкой и реализацией аналитических методов решения математических задач c использованием ПЭВМ и предполагает, что исходные данные, как и результаты решения, сформулированы в аналитическом (символьном) виде.

СГПИ кафедра математики и информатики
Компьютерная алгебра — область математики, лежащая на стыке алгебры и вычислительных методов.

СГПИ кафедра математики и информатики
Предмет дисциплины: примеры задач
Типовая задача из алгебры.
„ Постановка задачи.
Разложить на простые дроби:
„ Способы решения задачи:
A. вручную (с карандашом и бумагой)
B. в системе компьютерной алгебры
C. в системе программирования
„ Результат решения задачи:

СГПИ кафедра математики и информатики
Задача вычисления значения иррационального числа -1.
Постановка задачи.
Вычислить значение числа π (отношение длины окружности к её диаметру) с точностью 1000 знаков после запятой
Историческая справка:
Результат решения задачи: 1000-йзнак = 9

СГПИ кафедра математики и информатики
Предмет дисциплины: примеры задач
Задача вычисления значения иррационального числа -2
(система компьютерной алгебры «Maple»).
Текст программы решения задачи –
один (!) оператор:
> evalf(Pi, 1001); # вычисление числа Pi с точностью 1000 знаков
# (1 «лишний» знак – это знак «3» (целая часть))
> evalf(Pi, 1002); # вычисление числа Pi с точностью 1001 знак

СГПИ кафедра математики и информатики
Предмет дисциплины: примеры задач
Задача вычисления значения иррационального числа -3
(система компьютерной алгебры «Maple»).
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816
40628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223
17253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288
10975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454
32664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409
17153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703
65759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752
72489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070
21798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452
63560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371
05079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996
05187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083
02642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420
61717766914730359825349042875546873115956286388235378759375195778185
7780532171226806613001927876611195909216420198 9 [4 … ]

СГПИ кафедра математики и информатики
Место дисциплины в учебном плане

СГПИ кафедра математики и информатики
Место дисциплины в учебном плане
«Компьютерная алгебра рассматривает такие объекты, которые имеют слишком вычислительный характер, чтобы встречаться в книгах по алгебре, и слишком алгебраический характер, чтобы быть представленными в учебниках по информатике»

СГПИ кафедра математики и информатики
Место дисциплины в учебном плане
Особенности преподавания курса (1):
Своевременность пополнения и систематизации знаний:
понимание сути всех аспектов компьютерной алгебры – магистерская программа обучения (5-й и/или 6-й годы университетского образования);
знание основного набора существующих методов и алгоритмов решения задач компьютерной алгебры в научных, исследовательских и инженерных целях – бакалаврская программа обучения (3-йи/или 4-й годы университетского образования);
знание общих принципов организации аналитических вычислений, а также способов и средств их реализации для решения задач в ограниченной (общеобразовательной или профессиональной – начального уровня подготовки) предметной области – любой этап университетского (и даже школьного) образования.

СГПИ кафедра математики и информатики
Место дисциплины в учебном плане
Профессиональная ориентация слушателей (студентов):
математика (теоретическая и прикладная);
физика (механика, оптика, электромагнетизм, квантовая физика);
информатика и управление;
вычислительная техника и программирование;
другие профили (химия, генетика, лингвистика и т.п.).

СГПИ кафедра математики и информатики
Структура разделов дисциплины
Абстрактная алгебра

СГПИ кафедра математики и информатики
Базовый уровень подготовки студентов
(I) Что нужно знать (теория):
Алгебру и начала анализа
(в объёме общеобразовательной школы);
Дискретную математику (в объёме односеместрового вузовского курса);
Высшую математику (в объёме односеместрового вузовского курса).

СГПИ кафедра математики и информатики
Базовый уровень подготовки студентов
(II) Что нужно уметь (практика): Решать вручную задачи из школьного и вузовских
математических курсов;
Быть пользователем одной из операционных систем
общего назначения;
Программировать на одном из алгоритмических языков;
Использовать печатные и электронные (Интернет)
публикации для самостоятельного профессионального
обучения.

СГПИ кафедра математики и информатики
Виды учебных занятий и аттестаций

СГПИ кафедра математики и информатики
Виды учебных занятий и аттестаций
Расчётные задания (1):
(решение одной тематической задачи)
(с помощью различных программных систем)
„ Система компьютерной алгебры «Maxima»;
„ Система программирования Eclipse
(язык Common LISP);
„ Система компьютерной алгебры «Maple»;
„ Система программирования MS Visual Studio (язык C++).

СГПИ кафедра математики и информатики
Виды учебных занятий и аттестаций
Расчётные задания (2):
„ Типовые –для реализации в системах компьютерной алгебры;
„ Индивидуальные –для реализации
в системах программирования.

СГПИ кафедра математики и информатики
Использовать фантастический способ аттестации ?
Высокочастотный измеритель таланта
(С. Снегов «Тяжёлая капля тщеславия»)
z Дурак элементарный
z Дурак самодовольный
z Бездарь ординарная
z Бездарь агрессивная
z Середняк рядовой смирный
z Способность векториальная
z Способность общая
z Дарование
z Талант
z Гений

СГПИ кафедра математики и информатики
Виды учебных занятий и аттестаций
Аттестационная шкала – 1..100 баллов
‰Допуск к зачету– 50 баллов.
‰Зачет:
«3» – 55 … 69 баллов;
«4» – 70 … 84 баллов;
«5» – 85 … 100 баллов.

СГПИ кафедра математики и информатики
Виды учебных занятий и аттестаций

СГПИ кафедра математики и информатики
Результаты изучения дисциплины
Знания математических основ и базовых алгоритмов
целочисленной и полиномиальной арифметик, а также
функциональных возможностей их применения при решении
избранных прикладных задач информатики.
„ Умения выполнять полный цикл алгоритмического анализа и
синтеза решения вычислительной задачи в общем
(символьном) виде: от ее формальной постановки с
помощью математических объектов до выбора структур
данных и операторов языка программирования.
„ Навыки использования существующих и перспективных систем компьютерной алгебры общего и специального назначения.

СГПИ кафедра математики и информатики
Источники учебных материалов
Учебные материалы для лекций:
(1) Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями (1994)
(2) Панкратьев Е.В. Элементы компьютерной алгебры (2007)
(3) Тан К.Ш. идр. Символьный С++: введение в компьютерную алгебру (2001)
(4) Дэвенпорт Дж. идр. Компьютерная алгебра (1991)
(5) Компьютерная алгебра: Символьные и алгебраические вычисления / Под ред. Б. Бухбергера и др. (1986)
(6) Ноден П. и др. Алгоритмическая алгоритмика (с упражнениями и решениями) (1999)

СГПИ кафедра математики и информатики
Источники учебных материалов
Учебные материалы для практических занятий (1):
Система «Maple»:
„ Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Maple – система аналитических вычислений дляматематического моделирования :
http://www.math.rsu.ru/mexmat/kvm/MME/courses/maple_c/
„ Прохоров Г., Колбеев В., Желнов К., Леденев М. Математический пакет Maple V Release 4: Руководство пользователя :
http://www.nsu.ru/matlab/Exponenta_RU/soft/Maple/kaluga/1.asp.htm
„ Манзон Б.М. Maple V Power Edition :
http://www.nsu.ru/matlab/Exponenta_RU/soft/Maple/manson/poweredition/0.asp.htm

СГПИ кафедра математики и информатики
Контактная информация
Оперативная связь с преподавателем
(E-mail):
[email protected]