Презентация на тему Формулы Байеса, Бернулли, полной вероятости

Формула полной вероятности
Пусть некоторое событие А может произойти вместе с одним из несовместных событий H1, H2, … Hn , составляющих полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий P(H1), P(H2), … P(Hn) и условные вероятности наступления события А при наступлении события Hi P(A/H1),P(A/H2),…P(A/Hn).
2

Теорема
Вероятность события А, которое может произойти вместе с одним из событий H1, H2, … Hn , равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события А.
3

Доказательство
Т.к. события H1, H2, … Hn образуют полную группу событий, то событие А можно представить в виде следующей суммы:
Т.к. события H1, H2, … Hn несовместны, то и события AHi тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:
При этом ,
окончательно получаем: .
ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА
4

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез H1, H2, … Hn с известными вероятностями их наступления P(H1), P(H2), … P(Hn) . Пусть в результате опыта наступило событие А, условные вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны вероятности .
Требуется определить какие вероятности имеют гипотезы H1, H2, … Hn относительно события А, т.е. условные вероятности P(Hi /A) .
5
Формула Байеса (формула гипотез)

Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.
Эта формула называется формулой Байеса.
6
Теорема

м
По теореме умножения вероятностей получаем:
Тогда если . .
Для нахождения вероятности P(A) используем формулу полной вероятности
Если до испытания все гипотезы равновероятны с вероятностью , то формула Байеса принимает вид:
7
Доказательство
ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА
.

Если производится некоторое количество испытаний, в результате которых может произойти или не произойти событие А, и вероятность появления этого события в каждом из испытаний не зависит от результатов остальных испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.
Допустим, что событие А наступает в каждом испытании с вероятностью Р(А)=р. Определим вероятность Рm,n того, что в результате n испытаний событие А наступило ровно m раз.
Эту вероятность в принципе можно посчитать, используя теоремы сложения и умножения вероятностей. Однако, при достаточно большом количестве испытаний это приводит к очень большим вычислениям. Таким образом, возникает необходимость разработать общий подход к решению поставленной задачи. Этот подход реализован в формуле Бернулли. (Якоб Бернулли (1654 – 1705) – швейцарский математик)
8
Повторение испытаний.
Формула Бернулли

Пусть в результате n независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, событие А наступает с вероятностью Р(А) = р,
а противоположное ему событие с вероятностью .
Обозначим Ai – наступление события А в испытании с номером i. Т.к. условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны.
Если в результате n опытов событие А наступает ровно m раз, то остальные n-m раз это событие не наступает. Событие А может появиться m раз в n испытаниях в различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из n элементов по m. Это количество сочетаний находится по формуле:
Вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:
9
Повторение испытаний.
Формула Бернулли
(продолжение)

Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем ФОРМУЛУ БЕРНУЛЛИ:
10
Повторение испытаний.
Формула Бернулли
(продолжение)

По цели производится 5 выстрелов. Вероятность попадания для каждого выстрела равна 0,4. Найти вероятность того, что в цель попали не менее трех раз.
РЕШЕНИЕ:
Вероятность не менее трех попаданий складывается из вероятности пяти попаданий, четырех попаданий и трех попаданий.
Т.к. выстрелы независимы, то можно применить формулу Бернулли вероятности того, что в n испытаниях событие в вероятностью р наступает ровно m раз.
Пример