Презентация на тему Вневписанная окружность

Содержание

Слайд 2

Содержание

Введение.
Основная часть
Глава 1. Определение вневписанной окружности.
Центр вневписанной окружности.

Содержание Введение. Основная часть Глава 1. Определение вневписанной окружности. Центр вневписанной окружности.
Касательная к вневписанной окружности.
Глава 2. Формулы для вычисления радиусов вневписанных
окружностей.
§ 1. Соотношение между радиусом вневписанной окружности и
периметром треугольника
§ 2. Соотношение между радиусом вневписанной окружности, площадью и
периметром треугольника
Глава 3. Некоторые соотношения с радиусами вневписанных
окружностей.
§ 1. Выражение суммы радиусов вневписанных окружностей через
радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности
§ 2. Выражение суммы величин, обратных радиусам вневписанных
окружностей, через величину обратную радиусу вписанных
окружностей.
§ 3. Выражение суммы всех попарных произведений радиусов
вневписанных окружностей через квадрат полупериметра
треугольника.
§ 4. Выражение произведения радиусов вневписанных окружностей
через произведение радиуса вписанной окружности и
квадрат полупериметра треугольника.
§ 5. Выражение высоты треугольника через радиусы вневписанных
окружностей.
Заключение.
Библиография.

Слайд 3

Глава 1. Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из

Глава 1. Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из
сторон треугольника и продолжений двух других сторон

М

N

H

Слайд 4

Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника,

Центр вневписанной окружности в треугольник есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника,
противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника (1)

Дано:
АВС
Окр. (О; r)
М, N, К – точки касания
Доказать (1)
Решение:
Т. к. окружность касается сторон угла САК, то центр окружности О равноудален от сторон этого угла, следовательно, он лежит на биссектрисе угла САК. Аналогично, точка О лежит на биссектрисе угла АСN. Т. к. окружность касается прямых ВА и ВС, то она вписана в угол АВС, а значит её центр лежит на биссектрисе угла АВС. Ч.т. д.

Слайд 5

Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами

Расстояние от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами
этого угла равны полупериметру данного треугольника АВ1 = АС1 = p

Дано:
АВС
Вневписанная окр. (Оа; ra )
Доказать, что
АВ1 = АС1 = p
Доказательство:
Т.к. Оа - центр вневписанной
окружности. Касательные, прове -
денные к окружности из
одной точки, равны между собой,
поэтому ВВ1 = ВА1 , СА1 = СС1 , АВ1 = АС1.
Значит,
2p = (AC + СА1) + (AB + ВА1) = (AC + CC1) + (AB + BB1) = AC1 + AB1 = 2AC1 = 2AB1
т.е. АВ1 = АС1 = p.

Оа

В1

ra

ra

ra

А

В

С

С1

А1

α/2

α/2

Слайд 6

Глава 2. § 1. Радиус вневписанной окружности. Касающейся сторон данного внутреннего угла

Глава 2. § 1. Радиус вневписанной окружности. Касающейся сторон данного внутреннего угла
треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла, т. е. ra = ptg , rb = ptg , rc = ptg (2)

Дано:
АВС
Вневписанная окр. (Оа ; ra)
Доказать (2)
Решение:
В прямоугольном треугольнике А Оа С1
ra и p – длины катетов, угол Оа А С1
равен , поэтому ra = ptg .

А

В

С

Оа

p

p

В1

С1

b

c

ra

ra

ra

Слайд 7

§ 2. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади

§ 2. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади
треугольника к разности полупериметра и этой стороны. т.е. ra = , rb = , rc = (3)

Дано:
АВС
Вневписанная окр. (Оа ; ra)
Доказать (3)
Решение:
Имеем
S = SABC = SAOaC + SBOaC – SBOaC = × (b + c – a) = ra× (p – a), т.е.
ra =

А

В

С

Оа

p

p

В1

С1

b

c

ra

ra

ra

Слайд 8

Глава 3. § 1 Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной

Глава 3. § 1 Сумма радиусов вневписанных окружностей равна сумме радиуса вписанной
окружности и удвоенного диаметра описанной окружности, т. е. ra + rb + rc = r + 4R


Доказательство:
Выразим все радиусы через стороны, площадь и полупериметр треугольника:
r = , R = , ra = , rb = , rc =
Значит,
ra + rb + rc – r = + + - =
= =
= = = 4R

Слайд 9

§ 2. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу

§ 2. Сумма величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, равна величине, обратной радиусу
вписанной окружности, т. е.

Доказательство:
Используем выражения радиусов через стороны и площадь треугольника:
r = , R = , ra = , rb = , rc =
Значит,

Слайд 10

§ 3. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра

§ 3. Сумма всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей равна квадрату полупериметра
треугольника, т. е. rarb + rbrc + rcra = p2

Доказательство:
Воспользуемся формулами ранее доказанных радиусов через стороны и площадь треугольника:
r = , ra = , rb = , rc =
Подставим
Из формулы Герона следует
(p – a)(p – b)(p – c) = , поэтому

Слайд 11

§ 4. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиуса вписанной

§ 4. Произведение всех трех радиусов вневписанных окружностей равно произведению радиуса вписанной
окружности на квадрат полупериметра треугольника, т.е. rarbrc = rp2

Доказательство:
Из ранее доказанных формул для радиусов и формулы Герона
ra = , rb = , rc = ,
Тогда

Слайд 12

Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей

Следствие 1. Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей
к полупериметру треугольника, т.е.


Доказательство:
Из rarbrc = rp2 = rp × p = Sp.
Следовательно

Слайд 13

Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов

Следствие 2. Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов
вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности, т.е.

Доказательство:
Из следствия 1, что и равенства S = pr,
получаем, перемножая их почленно,
. Значит

Слайд 14

§ 5. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону, равна

§ 5. Величина, обратная высоте треугольника, опущенной на его данную сторону, равна
полусумме величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, касающихся двух других сторон треугольника, т.е. , ,

Доказательство:
Воспользуемся формулами
,
Значит,
,

Имя файла: Презентация-на-тему-Вневписанная-окружность.pptx
Количество просмотров: 403
Количество скачиваний: 0